Уточнения понятия однородности

Понятие “однородность”, т. е. “отсутствие различия”, может быть формализовано в терминах вероятностной модели различными способами.

Наивысшая степень однородности достигается, если обе выборки взяты из одной и той же генеральной совокупности, т. е. справедлива нулевая гипотеза

H ₀ : F (x)= G (x) при всех х.

Отсутствие однородности означает, что верна альтернативная гипотеза

H ₁ : F (x ₀) ¹ G (x ₀)

хотя бы при одном значении аргумента x ₀. Если гипотеза H ₀  принята, то выборки можно объединить в одну, если нет-то нельзя.

В некоторых случаях целесообразно проверять не совпадение функций распределения, а совпадение некоторых характеристик случайных величин Х и Y- математических ожиданий, медиан, дисперсий, коэффициентов вариации и др. Например, однородность математических ожиданий означает, что справедлива гипотеза

H '₀ : E (X)= E (Y),

где Е(Х) и E (Y)- математические ожидания случайных величин Х и Y, результаты наблюдений над которыми составляют первую и вторую выборки соответственно. Различие между выборками в рассматриваемом случае- это справедливость альтернативной гипотезы

H '₁ : E (X) ¹ E (Y),

Если гипотеза H ₀  верна, то и гипотеза H '₀ верна, но из справедливости H '₀  не следует справедливость H ₀ . В частности, если в результате обработки выборочных данных принята гипотеза H '₀, то отсюда не следует, что две выборки можно объединить в одну. Однако в ряде ситуаций целесообразна проверка именно гипотезы H '_0. Например, пусть изучается эффективность лечения определенного заболевания двумя препаратами; результаты наблюдения - число дней нетрудоспособности, а показатель эффективности лечения - среднее число дней нетрудоспособности на одного больного. Тогда для сравнения эффективности препаратов достаточно проверить гипотезу H '₀ .

Классические условия применимости критерия Стьюдента

Пусть выполнены два классических условия применимости критерия Стьюдента, основанного на использовании статистики t, заданной формулой (1):

а) результаты наблюдений имеют нормальные распределения

F(x)=N(x; m₁, s₁²) и G(x)=N(x; m₂, s₂²)

с математическими ожиданиями m ₁ и m ₂ и дисперсиями s₁² и s₂² в первой и во второй выборках соответственно;

б) дисперсии результатов наблюдений в первой и второй выборках совпадают:

D(X)=s₁²=D(Y)=s₂².

Если условия а) и б) выполнены, то нормальные распределения F (x) и G (x) отличаются только математическими ожиданиями, а поэтому обе гипотезы H ₀  и H '₀  сводятся к гипотезе

H "₀: m ₁ = m ₂,

а обе альтернативные гипотезы H ₁ и H '₁ сводятся к гипотезе

H "₁: m ₁ ¹ m ₂,

Если условия а) и б) выполнены, то статистика t при справедливости H "₀ имеет распределение Стьюдента с (т+п- 2) степенями свободы. Только в этом случае описанный в п. 2 традиционный метод обоснован безупречно. Если хотя бы одно из условий а) и б) не выполнено, то нет оснований считать, что статистика t имеет распределение Стьюдента, поэтому применение традиционного метода, строго говоря, не обосновано.

О проверке условия нормальности

Предполагать нормальность распределения результатов медико-биологических наблюдений априори нет оснований. Следовательно, нормальность надо проверять. Разработано много статистических критериев для проверки нормальности распределения результатов наблюдений [2]. Однако проверка нормальности - более сложная и трудоемкая статистическая процедура, чем проверка однородности (как с помощью статистики t Стьюдента, так и с использованием непараметрических критериев, рассматриваемых ниже).

Для достаточно надежного установления нормальности требуется весьма большое число наблюдений. Так, чтобы гарантировать, что функция распределения результатов наблюдений отличается от некоторой нормальной нс более чем на 0,01 (при любом значении аргумента), требуется порядка 2500 наблюдений. В большинстве медико-биологических исследований число наблюдений существенно меньше.

Есть и одна общая причина отклонений от нормальности: любой результат наблюдения записывается конечным (обычно 2-5) количеством цифр, а с математической точки зрения вероятность такого события равна 0.

Из сказанного выше следует, что распределение результатов медико-биологических наблюдений всегда более или менее отличается от нормального.