Основные уравнения четырехполюсников

Принято условно изображать четырехполюсники так, как это показано на рис. 3.1. Это «проходной» четырехполюсник. В нем электрическая энергия передается слева направо. Одну пару выводов называют первичной (входной), а другую – вторичной (выходной) и обозначают соответственно 1–1¢ и 2–2¢. Входной ток обозначают , входное напряжение – , ток и напряжение на выходе –  и . Четырехполюсник является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К выводам 1–1¢, как правило, присоединяется источник питания; к выводам 2–2¢ – нагрузка.

Зависимости между двумя напряжениями и двумя токами, определяющими режим на первичных и вторичных выводах, могут быть записаны в различной форме. Если считать две из указанных величин заданными, то две другие величины будут связаны с ними системой двух уравнений, которые называются уравнениями четырехполюсника.

Пусть схема четырехполюсника содержит n независимых контуров. В качестве первого (рис. 3.2) выберем контур, включающий в себя источник энергии на зажимах 1–1¢, в качестве второго – контур, включающий в себя приемник, присоединенный к зажимам 2–2¢. Будем рассматривать напряжение на входных зажимах четырехполюсника  как входное напряжение. Такое включение принято называть прямым.

Составим уравнения по методу контурных токов.

                    (3.1)

Поскольку , то, перенеся величину  в правую часть второго уравнения, приведем систему уравнений к виду

                     (3.2)

Учитывая, что правые части всех уравнений, кроме первых двух, равны нулю, получим на основании принципа наложения следующее решение

                   (3.3)

Коэффициенты в (3.3) имеют размерность проводимости, введем соответствующие обозначения

.                

Тогда уравнения четырехполюсника, записанные в Y -форме, связывающие токи с напряжениями, имеют вид

                                       (3.4)

Полученные соотношения в матричной форме имеют вид: .

Для линейной пассивной цепи , а следовательно, . Из четырех Y -параметров независимых три, т.к.

Решив (3.4) относительно напряжений  и , получим уравнения четырехполюсника, записанные в Z -форме, связывающие напряжения и токи

                                        (3.5)

где (3.6)

при этом .

Из четырех Z –параметров независимых три.

Уравнение (3.5) в матричной форме: .

Наиболее распространенной формой записи уравнений четырехполюсника является такая, при которой входные ток и напряжение выражаются через выходные напряжение и ток. Из уравнений (3.3) можно записать

.               (3.7)

Подставим (3.7) в первое уравнение (3.3)

        (3.8)

Введем обозначения

 – величина безразмерная;

 – величина, измеряемая в омах;

 – величина, измеряемая в сименсах;

 – величина безразмерная.

При этом будут справедливы соотношения

                                     (3.9)

В матричной форме эти уравнения имеют вид

Уравнения (3.9) называют уравнения четырехполюсника в А-параметрах. Учитывая, что , можно показать, что определитель матрицы А равен единице:

     (3.10)

Итак:

Из этого соотношения следует, что для определения  и  достаточно знать только три коэффициента из четырех, т.е. среди А –параметров только три независимые, аналогично для Z –, Y – форм.

Таким образом, зная, что Y, Z, A – параметры зависят от параметров элементов и конфигурации схемы четырехполюсника, можно сформулировать связь вход–выход, не прибегая к расчету токов и напряжений во внутренней части четырехполюсника, которая может представлять собой весьма сложную электрическую цепь.

Имеются и другие соотношения, связывающие в смешанной форме токи и напряжения на входе и выходе четырехполюсника. Приведем без вывода уравнения четырехполюсника в H – и G – параметрах:

.

Все параметры в общем случае – комплексные числа.

3. Режим обратного питания четырехполюсников

При выводе уравнений четырехполюсника в предыдущем разделе мы предполагали, что источник энергии был подключен к выводам 1–1¢. Поменяем местами полюса четырехполюсника. Подсоединим источник к выводам 2–2¢, а к выводам 1–1¢ – сопротивление нагрузки  (рис. 3.3). Такое включение называют обратным.

Запишем уравнения четырехполюсника в А – параметрах с учетом того, что направления токов в нем относительно принятого на рис. 3.2 изменится на противоположное:

Решим эту систему относительно  и : ,

где  – определитель А –матрицы, . Тогда                    (3.11)

где  и  – определители, для которых в  заменены соответственно первый и второй столбец на  и . Уравнения (3.11) называют уравнениями четырехполюсника при обратном питании, а (3.9) – соответственно при прямом питании.

Замечаем, что уравнения четырехполюсника при обратном питании отличаются от уравнений прямого питания местоположением коэффициентов А ₁₁ и А ₂₂. Отсюда условие симметричности четырехполюсников: А ₁₁ = А ₂₂.