Количественная интерпретация гравитационных аномалий

Количественная интерпретация данных гравиразведки основана на решении прямых и обратных задач. Прямая задача гравиразведки состоит в определении элементов поля силы тяжести  по заданному распределению его источников, для которых известны форма, размеры, глубина залегания и величина избыточной плотности. Обратная задача гравиразведки имеет противоположную цель - нахождение параметров объекта (формы, размеров, глубины залегания, избыточной плотности) по известному распределению (по профилю или площади) элементов силы тяжести.

Принцип решения прямой задачи. Как отмечалось в п. 12.1, аномалии силы тяжести, вызванные притяжением тел известной формы, размера и избыточной плотности, рассчитывают на основе закона Ньютона. Для этого создающий аномалию объект раз­бивают на точечные массы   и вычисляют аномалию такой точечной массы, которая равна вертикальной составляю­щей силы притяжения этой массой единичной массы . Согласно формулам (12.9) и (12.3) выражение для расчета аномалии силы тяжести от объекта любой формы может быть записано в виде:

                                           (14.3)

где  - координаты точечной массы; х, у, z - координаты притягиваемой единичной массы ;  - объем дающего аномалию объекта;  — его избыточная плотность, которая может быть положительной и отрицательной в зависимости от соотно­шения плотностей объекта и вмещающей среды.

Аналитические решения с помощью уравнения (14.3) можно получить только для объектов простой геометрической формы (шар, цилиндр и др.) при условии постоянной избыточной плотности. Для объектов более сложной формы или с переменной плотностью возможны лишь численные решения интеграла (14.3) с применением компьютеров. Решение прямых задач служит основой способов решения обратных задач гравиразведки для типовых объектов и геологических структур. Ниже даются приме­ры решения прямых и обратных задач гравиразведки для объектов правильной и неправильной геометрической формы.

Прямая и обратная задачи для шара. Положим, что однородный шар радиусом R, объемом , с избыточной плотностью  и с центром на оси z расположен на глубине Решим прямую двухмерную задачу, т.е. положим   и определим гравитационный эффект  вдоль профиля х, проходящего над центром шара с началом в точке 0 (рис. 14.4, а). В этом случае выражение (14.3) приведем к простому виду:

                                                                             (14.4)

в котором принято, что избыточная масса . Максимальное значение  будет в точке :

 

                                                                            (14.5)

 

График аномалии , создаваемой однородным шаром по профилю х, изображен на рис. 14.4, а (принято ). Таким образом, прямая задача для шара решена.

Обратную задачу для шара можно решить на основании уравнения (14.5) и графика  на рис. 14.4, а. Для этого найдем значение аномалии в точке , в которой :

 

                                               (14.6)

 

Решив совместно уравнения (14.5) и (14.6), определим глуби­ну центра шара

 

                                                 (14.7)

 

Затем, подставив выражение (14.7) в (14.5), найдем избыточную массу шара:

 

       (14.8)

Если сделать предположение об избыточной плотности  шара, то можно определить его радиус R и глубину верхней кромки h:

                                  (14.9)

 

Рис. 14.4. Гравитационное поле от шара (а) и бесконечного круглого цилиндра (б)

Прямая и обратная задачи для горизонтального круглого цилиндра. Положим, что горизонтальный бесконечно длинный круглый цилиндр радиуса R, сечения S, с избыточной плотностью  расположен вдоль оси у на глубине ζ (рис. 14.4, б). Решим прямую задачу, т.е. определим  вдоль оси х, направленной вкрест простирания цилиндра с началом координат над его центром. Притяжение цилиндром будет таким же, как притяжение вещественной линии, расположенной вдоль его оси у с массой единицы длины . Поэтому для точек наблюдения вдоль оси х () с учетом, что ,  (цилиндр принят бесконечно длинным) и  аналитическое выражение для цилиндра можно получить из уравнения (14.3) в следующем виде:

 

                                           (14.10)

где  - избыточная масса единицы длины цилиндра. График будет иметь максимум при :

 

                                                                                  (14.11)

 

и асимптотически стремиться к нулю при , причем по виду он будет похож на график  над шаром.

Решение обратной задачи подобно решению задачи для однородного шара. Для этого из выражения (14.10) найдем значение аномалии в точке , в которой :

 

                                                                               (14.12)

 

Решая совместно уравнения (14.11) и (14.12), получим

 

                                                                  (14.13)

 

Следовательно, определив по графику  значение  и абсциссу , можно определить глубину оси цилиндра . Далее по формуле (14.11) можно рассчитать избыточную массу, заключенную в единице длины цилиндра

 

                                                               (14.14)

 

А если известна избыточная плотность  цилиндра, то можно вычислить его радиус R, площадь поперечного сечения S и глубину верхней кромки h:

 

, ,                         (14.15)

 

Прямая и обратная задачи для вертикальной ступени. При интерпретации гравитационных аномалий вертикальной ступенью аппроксимируют вертикальную плоскость сброса с опущенным и приподнятым крыльями. В этом случае вычисление интеграла (14.3) является сложным, и поэтому приведем результат без вывода:

                                                                                         (14.6)

где  соответственно, глубины залегания поднятого и опущенного крыла,
 – разница плотностей выше и ниже ступени, ось  направлена вкрест простирания ступени, вертикальная грань ступени совпадает с началом координат.

Вид кривой  () приведен на рис. 14.5, а. Максимальное значение  будет при , где значения  выходят на горизонтальную асимптоту . Над самим вертикальным сбросом (при ) получаем
. Очевидно, на карте  будут наблюдаться квазипараллельные изолинии с максимальным их сгущением над вертикальной гранью (гравитационная ступень). При   кривая  стремится к 0.

 

 

При решении обратной задачи из формулы (14.16) можно получить для абсцисс точек с   и , в которых  составляет 1/4 и 3/4 от , выражение для определения средней глубины залегания вертикальной ступени:

 

.                                        (14.17)

 

Если известна избыточная плотность , то можно определить амплитуду сброса   и вычислить глубину залегания поднятого  и опущенного  крыльев сброса.

Прямая и обратная задачи для контактной поверхности. Контактной поверхностью называется граница раздела двух сред бесконечного простирания с различной плотностью, причем нижняя среда имеет бесконечную мощность. Положим, граница S представляет след сечения вертикальной плоскостью поверхности раздела двух толщ: верхней - конечной мощности с плотностью  и нижней - бесконечной мощности с плотностью  (рис. 14.5, б). Горизонтальная линия, усредняющая границу, находится на глубине. Выделим притягивающие массы между этой линией и контактной поверхностью: пусть массы выше горизонтальной линии имеют положительную избыточную плотность, ниже - отрицательную. Аномалию притяжения контактной поверхностью можно рассматривать как сумму притяжения бесконечного плоскопараллельного слоя мощностью , и избыточной плотностью  и масс, заключенных между горизонтальной ли­нией и рельефом границы:

                                                             (14.18)

Не приводя подробного вывода, дадим приближенную формулу для решения прямой задачи, справедливую при относительно спокойном рельефе. По формуле для плоскопараллельного слоя

 

                                          (14.19)

 

где  - разность аномалий в двух точках  и ;  и  - глубины контактной поверхности в точках  и .

Формулу (14.19) широко применяют при оценке залегания границ раздела плотностей в случае сред, близких к горизонтально-слоистым. При этом гравитационная аномалия не всегда повторяет картину подземного рельефа. Нужно учитывать, что изменение аномалий силы тяжести на каком-либо участке профиля может быть вызвано изменением не только глубины залегания контактной поверхности, но также и избыточной плотности вдоль неё.

При решении обратной задачи для контактной поверхности необходимо, чтобы была известна глубина ее залегания хотя бы в одной точке профиля наблюдений. Согласно (14.19),

                                                                             (14.20)

 

откуда глубина залегания контактной поверхности в точке

 

                                                                                              (14.21)

 

где  - известная глубина залегания поверхности в точке . При использовании формулы (14.20) нужно учитывать, что решение позволяет получить верную информацию о подземном рельефе, если избыточная плотность вдоль контактной поверхности не изменяется, и аномалия  определяется в основном этой границей раздела плотностей, а другие плотностные границы в среде не оказывают на величину аномалии существенного влияния.

Решение прямой и обратной задач для объектов произвольной формы. Рассмотрим прямую задачу в двухмерном варианте, считая, что гравитационный эффект, создаваемый объектами, вытянутыми в одном направлении (обычно вдоль оси у) теоре­тически до бесконечности, адекватен эффекту от вертикальных сечений этих объектов. В этом случае объемный интеграл (14.3) преобразуется в интеграл по площади:

 

                                                          (14.22)

 

где dS - элемент площади ().

Интеграл (14.22) можно вычислить графическим способом с помощью различных схем (палеток), деля тела на элементарные площади. Аномалия, вызванная двухмерным объектом произ­вольного контура, определяется как сумма аномалий, созданных в полюсе (начале координат) палетки каждым из заключенных внутри него объектов простой формы. Наибольшее применение нашла палетка Гамбурцева (рис. 14.6). Здесь из полюса О через один и тот же угол  проведены радиусы, а через равные расстояния  - параллельные линии. Пересечения радиусов и горизонтальных линий образуют элементарные трапеции (например, ABCD), которые хотя и имеют разные площади, но создают, согласно выведенному из формулы (14.22) выражению

 

                                                                    (14.23)

 

одинаковое притяжение в полюсе 0.

 

Рис. 14.6. Принцип вычисления силы притяжения для двухмерных объектов сложной формы с помощью палетки Гамбурцева

 

Если на поперечное сечение исследуемого объекта S приходится т таких элементарных трапеций палетки, то . Параметр  представляет собой цену деления палетки и определяется заранее по заданным параметрам разреза, причем  и ; подбирают так, чтобы цена деления имела удобное для расчета постоянное значение, например, 0,1 мГал.

При переходе от одного разреза к другому могут измениться масштаб (и, следовательно,  палетки) и значение избыточной плотности. Чтобы использовать ту же палетку, вводят масштабный коэффициент:

 

                                                                                      (14.24)

 

где ,  - избыточная плотность и масштаб палетки, а ,  - избыточная плотность и масштаб разреза. Таким образом, аномалию в полюсе 0 над двухмерным телом с помощью палетки Гамбурцева рассчитывают по формуле

 

                                                                        (14.25)

Точность расчета  палеточным методом зависит от точности аппроксимации поперечного сечения плотностных масс элементарными трапециями палетки и может быть повышена путем уменьшения цены деления палетки.

В настоящее время имеется много компьютерных способов решения прямой задачи. Все они основаны на указанной выше замене действия аномального объекта суммой действий элементарных объектов правильной формы. Алгоритмы этих способов различаются в основном выбором формы элементарного объекта и способа численного интегрирования. Имеются возможности решения трехмерных прямых задач для объектов произвольной формы.

Обратную задачу при сложном характере гравитационного поля решают способом подбора, суть которого заключается в следующем. Используя априорные геологические и геофизические сведения о разрезе, задаются формой и избыточной плотностью возмущающего объекта и путем решения прямой задачи (моделирования) вычисляют создаваемый им гравитационный эффект. Полученную модельную аномалию силы тяжести сравнивают с наблюденными данными. При наличии расхождений производят коррекцию глубины, геометрии и свойств возмущающего объекта. Вновь моделируют гравитационный эффект с новыми пара­метрами возмущающего объекта и опять сравнивают данные моделирования с наблюденным полем и т.д. Элементы залегания и избыточная масса возмущающего объекта считаются найденными, когда модельные и наблюденные данные совпадут наилучшим образом. В настоящее время для этого используются специальные оптимизационные методы, позволяющие целенаправленно подбирать модель и с наименьшим числом итераций достигать сходства модельных и наблюденных данных.

Решение обратной задачи способом подбора является неоднозначным. Это объясняется тем, что одинаковое гравитационное поле может быть создано различными распределениями масс в среде. Поэтому успех решения обратной задачи во многом опре­деляется достоверностью априорных геологических сведений, которые были использованы при решении, прежде всего досто­верностью принятых значений избыточной плотности и формы объектов, от которых вычисляется гравитационный эффект.