называется системой дифференциальных уравнений.

       Если функции в правых частях непрерывны по всем своим аргументам и их частные производные непрерывны по неизвестным функциям x_i (i=1,2,3,…..,n), то существует единственное решение системы

x₁(t), x₂(t), x₃(t),………., x_n(t),                                                           (39)

удовлетворяющее начальным условиям

x₁(t₀)=x₁₀, x₂(t₀) =x₂₀, x₃(t₀) =x₃₀,………., x_n(t₀) =x_n0 (i=1, 2,….., n).                       (40)

       Решениесистемы дифференциальных уравнений x₁(t), x₂(t), x₃(t),………., x_n(t) являетсяn-мерной вектор-функцией, обозначаемой . Тогда система (38) может быть записана в виде

                                                                                                        (41)

где  – вектор-функция с координатамиf₁,f₂,……,f_n, а начальные условия в виде , где  есть n-мерный вектор с координатами x₁₀, x₂₀, x₃₀,………., x_n0.

       Решениесистемы дифференциальных уравнений (39) определяет в евклидовом пространстве с координатами t, x₁, x₂, x₃,………., x_n некоторую кривую, называемую интегральной кривой. При выполнении условий существования и единственности решения через каждую точку этого пространства проходит единственная кривая и их совокупность образуетn-параметрическое семейство. В качестве параметров может быть взяты, например, начальные условия.

       В другой интерпретации, удобной и естественной во многих физических и механических задачах, в пространстве с прямоугольными координатами решение (39) определяет закон движения по некоторой траектории в зависимости от изменения времени. В этих задачах производная будет скоростью движения точки, а - координатами скорости той же точки. Система (41) обычно называется динамической, пространство с координатами x₁, x₂, x₃,………., x_nназывается фазовым, а кривая X=X(t) фазовой траекторией.

Одним и основных методов интегрирования системы дифференциальных уравнений заключается в следующем: из уравнений системы (38) и из уравнений, получающихся дифференцированием уравнений, входящих в систему, исключают все неизвестные кроме одной. В результате получают одно дифференциальное уравнение, решая которое находят одну неизвестную, а остальные без интеграций получают из уравнений системы и полученных дифференцированием.

Пример13.1. Решить

Дифференцируем, например, первое уравнение и подставляем dy/dt во второе. Получим дифференциальное уравнение второго порядка

                                                                                                     общее решение которого x = C₁e^-t + C₂e^t. Дифференцируя полученное решение, учитывая первое уравнение, имеем y =- C₁e^-t + C₂e^t. Решение системы найдено.

Пример13.2.  Найти решение системы

Дифференцируем два раза второе уравнение и подставляем в первое. Полученное уравнение линейное неоднородное 4-го порядка

 Характеристическое уравнение соответствующего однородного (k⁴-1)=0 имеет корни k_1,2=±1, k_3,4=±i, а уравнение – общее решение y₀= C₁e^-t + C₂e^t+ C₃Cost+ C₄ Sint. Нетрудно проверить, что частным решением будет y_ч =0.125e^2t. Таким образом, общее решение неоднородного уравнения получено в виде

y= C₁e^-t + C₂e^t+ C₃Cost+ C₄ Sint+0.125e^2t.

Решение для второй неизвестной получим, дифференцируя два раза найденное

x= C₁e^-t + C₂e^t- C₃Cost - C₄ Sint +0.5 e^2t.

Задача решена.