Дифференциал функции многих переменных

       Лекция 9.

Рассмотрим функцию двух переменных z = z(x;y). Если зафиксировать переменную ,  то функция становится функцией одной переменной .

Определение. Частным дифференциалом по переменной x называется главная часть соответствующего частного приращения, пропорциональная приращению аргумента ∆ x.

 Частные дифференциалы принято обозначать - d_xz, d_yz и т.д. Формула вычисления частных дифференциалов аналогична формуле вычисления дифференциала функции одной переменной, учитывая вычисление производной как частной. Так, для функции z = z(x;y) частные дифференциалы примут вид:     

                           (35)       

Найдем частные дифференциалы примера 1:d_xz=(2xy³+y²Cos(xy²))dx, d_yz = (3x²y² + 2xyCos(xy²))dy.

Отметим, что геометрически частные дифференциалы являются полученным в пересечении поверхности и плоскости закрепленной переменной.

Вообще говоря, полное приращение функции весьма сложно выражаются через приращения независимых переменных за исключением функции z = ax + by + c. Полное приращение линейной функции двух переменных, как легко видеть будет

                                  ∆z =  a∆x + b∆y.                                                                        Но оказывается, что для независимых переменных произвольной функции z = z(x;y) можно подобрать такие коэффициенты a и b, что выражение a∆x + b∆y  хотя и не будет в точности равно ∆z, но будет отличаться от него на величину бесконечно малую более высокой малости, чем расстояние  между точками  P(x;y) и P₁(x+∆x;y+∆y). То есть полное приращение можно представить в виде

                 ∆z = a∆x + b∆y + α,                                                                    (36)

причем     

Сумма a·∆x + b·∆y называется полным дифференциалом функции z = z (x; y) и

обозначается:                

                    dz = a·dx + b·dy                                                                         (37)

Как и прежде dx =∆x, dy = ∆y, и выражение (37) будем называть главной частью полного приращения функции. Нетрудно видеть, что разность между полным дифференциалом и полным приращением функции уменьшается при ρ→0.

Определение. Полным дифференциалом функции двух независимых переменных называется главная часть полного приращения функции, линейная относительно приращений аргументов.

Итак,  Аналогично получим  Подставляя значения a и b в равенство (37), получим формулу вычисления полного дифференциала:

                                                                                    (38)

Таким образом, полный дифференциал функции 2-х переменных равен сумме произведений частных производных функции на соответствующие дифференциалы независимых переменных.

dz = (2xy³+y²Cos(xy²))dx + (3x²y² + 2xyCos(xy²))dy.

Анализируя равенство (38), можно заключить: полный дифференциал функции 2-х переменных равен сумме ее частных дифференциалов: dz = d_xz + d_yz.

Замечание. Аналогичные формулировки о частных производных, дифференциалах и полном дифференциале можно сделать и для функции многих переменных u=u(x,y,z,..,t),

du = d_xu + d_yu + d_zu + …………..+ d_tu.

Пример. Найти полный дифференциал функции u = ln(xyz² +x³ – y). Найдем частные производные функции:  Теперь полный дифференциал функции

    §19 Уравнение касательной плоскости к поверхности z = z(x;y).

        Геометрический смысл полного дифференциала.

       Пусть функция z =z(x;y) описывает поверхность S и дифференцируема в точке P(x₀,y₀). Рассмотрим сечения поверхности S плоскостями x = x₀ и y = y₀. К полученным плоским кривым в соответствующих плоскостях в точке M₀(x₀,y₀,z₀) проведем касательные M₀T_x и M₀T_y. Эти две пересекающиеся в точке кривые определяют плоскость, которая называется касательной, а точка M₀ – точкой касани я. Найдем уравнение касательной плоскости. Так как касательные M₀T_x и M₀T_y лежат в касательной плоскости, то, подставляя уравнения касательной M₀T_x:  и касательной M₀T_y:

 в уравнение касательной плоскости z – z₀ = A(x – x₀) + B(y – y₀), найдем коэффициенты A, B. В результате подстановки находим .

Таким образом, уравнение касательной плоскости к поверхности z=z(x;y) в точке M₀ принимает вид:                                 (39)

Для достаточно близких точек P(x;y) к точке P₀(x₀;y₀) разность значений аргументов заменим их приращениями: x-x₀ = ∆x = dx, y – y₀ = ∆y = dy. В этом случае правая часть выражения (39) является полным дифференциалом для функции z = z(x;y). Поэтому уравнение касательной плоскости можно записать в виде: , где z₀–аппликата точки касания, z – текущая аппликата касательной плоскости, а dz(x₀;y₀) - полный дифференциал в точке P₀.

Таким образом, дифференциал функции z=z(x;y) в произвольной точке есть приращение точки касательной плоскости. В этом состоит геометрический смысл полного дифференциала.