Баллистический анализ орбитальных блоков

Напомним, что под орбитальными блоками (ОБ) обычно понимают систему, включающую в себя разгонный блок (РБ) и полезную нагрузку (ПН). ОБ совершают маневры, основная цель которых является доставка ПН с низких орбит на более высокоэнергетичные. Здесь мы ограничимся межорбитальными перелетами в центральном поле тяготения Земли, хотя все основные подходы можно распространить и на иные энергоемкие перелеты.Так, например, при межпланетных перелётах могут быть также использован метод импульсной аппроксимации. В этом случае предполагаем, что в точке схода с промежуточной земной орбиты межпланетный блок мгновенно переходит на гиперболическую отлётную траекторию. После выхода межпланетного блока из гравитационного поля Земли движение между планетами подчиняется законам гравитации Солнца. А при подходе к планете назначения скорость движения блока опять мгновенно изменяется с гиперболической на орбитальную [24]. При составлении уравнений движения материальной точки обычно используют инерциальные сферические системы координат с полюсами в центре Земли, Луны, Солнца или иных планет [19, 23, 24].

Характерной особенностью движения ОБ является то, что основное время он находится в состоянии свободного полета, а продолжительность работы ДУ на активных участках межорбитальных перелетов пренебрежимо мала в сравнении с суммарным временем полета. В связи с этим в основу приближенных решений движения ОБ в центральном поле тяготения Земли могут быть положены два уравнения, описывающие движение свободного полета материальной точки в центральном поле тяготения. В дальнейшем, как было отмечено, мы ограничимся движением только в центральном поле тяготения Земли с гравитационной постоянной  км³/с².

Уравнение энергии

Уравнение постоянства количества движения

Задача баллистического анализа заключается в том, чтобы определить суммарный запас характеристической скорости , необходимый для перехода с НОО на целевую орбиту. В общем случае энергетические затраты определяются следующим соотношением

где – число импульсов перелета.

В том случае, если РБ представляет собой одноступенчатую систему

Используя первые интегралы системы уравнений (33) и (34), можно получить зависимости скорости в апогее  и перигее  эллиптической переходной орбиты (ПО) в функции ,  и

Аналогичную зависимость можно получить для

Для круговой орбиты

Задачу баллистического анализа будем решать, используя метод импульсной аппроксимации. В методе импульсной аппроксимации активный участок представляется в виде мгновенного изменения скорости при неизменном положении орбитального блока [, ]. При этом потери характеристической скорости, которые неизбежны в связи с протяженностью активных участков, будем учитывать приближенно, используя аналитические соотношения, полученные при определенных допущениях. В качестве примера рассмотрим выведение ПН на ГСО. Переход с НОО на ГСО можно осуществить по двухимпульсной схеме. Запас характеристической скорости равен сумме двух составляющих:

– – запас характеристической скорости компланарного перехода с НОО на эллиптическую орбиту с высотой апогея, равной высоте ГСО (перелет, лежащий в одной плоскости);

–  – запас характеристической скорости пространственного перехода с углом поворота плоскости орбиты, равным .

На рис. 16 представлена двухимпульсная схема перехода с НОО на ГСО.

 

 

 

Рис. 16. Двухимпульсный переход с низкой опорной на геостационарную орбиту

 

Если решать задачу в импульсной постановке ; , то

где – потребный импульс скорости для совершения перелета между НОО и переходной орбитой без учета продолжительности активного участка; – скорость ОБ в перигее переходной орбиты; – первая космическая скорость на НОО.

В случае пространственного перехода

где – потребный импульс скорости для совершения перелета между переходной орбитой и ГСО без учета продолжительности активного участка; – первая космическая скорость на ГСО; – скорость ОБ в апогее переходной орбиты.

Решая задачу в импульсной постановке, мы не учитываем протяженность активных участков. В реальных условиях на активном участке полета на ОБ действует сила тяжести, направленная к центру Земли. Кроме того, направление силы тяги не всегда совпадает с направлением полета, а также имеются потери на органы управления. Таким образом, если сравнивать реальный запас характеристической скорости с соответствующим значением мгновенного перехода, то необходимо учитывать потери на управление вектором тяги  и потери на гравитацию . Тогда полные затраты характеристической скорости, необходимые для выведения ПН на целевую орбиту, можно представить как

где  – число активных участков на траектории движения ОБ;  –запас характеристической скорости при мгновенном переходе на  активном участке.

Потери на управление можно представить как сумму потерь на органы управления  и на углы атаки . К этим потерям можно также добавить приращение характеристической скорости за счёт увода РБ после выведения ПН на целевую орбиту.

Опираясь на статистические данные (аналогично как и для РН), можно записать

 (0,002 … 0,003).                 (45)

Потери на углы атаки можно записать как

где  – время -го активного участка;  – среднеинтегральное значение относительной потери характеристической скорости на углы атаки при движении ОБ на -ом активном участке траектории. Обращает на себя внимание следующая закономерность: чем больше значение коэффициента тяговооружённости на -ом активном участке, тем больше углы атаки. Отметим, что максимальное значение углов атаки при значении коэффициента тяговооруженности , как правило, не превышает .

Суммарные потери на управление составляют 0,5 … 1,5% от суммарного импульса

Для определения потерь на гравитацию при старте с низкой опорной орбиты (первый активный участок) может быть рекомендована аналитическая зависимость, приведённая в работе [24]

где  – потери на гравитацию при движении ОБ на первом активном участке в сравнении с результатом решения задачи в импульсной постановке;  – протяжённость первого активного участка;  и  – ускорение свободного падения и первая космическая скорость, соответствующие высоте низкой опорной орбиты .

Поскольку в работе [] формула (48) дана без вывода, постараемся здесь (исключительно в учебных целях) построить логическую цепочку формирования структуры расчётной зависимости.

Для этого введём допущения: и .

В этом случае потери на гравитацию запишутся как

где

где  = ;

 

Приняв линейный закон изменения двойного интеграла от безразмерного параметра  после несложных преобразований получим зависимость типа (48).

Как показали результаты расчётов, проведённых методом импульсной аппроксимации с учётом (48) и методом численного интегрирования уравнений движения в широком варьировании проектных параметров и начальных условий, погрешности определения гравитационных потерь не превышают ±15 м/c. При этом отмечено, что чем меньше коэффициент тяговооружённости , тем меньше погрешности определения гравитационных потерь.

Если второе включение маршевого двигателя осуществляется в апогее переходного эллипса, то гравитационные потери на втором активном участке обычно не рассматриваются.

Теперь рассмотрим схемы, когда второе включение имеет место в перигее орбиты фазирования (рис. 17). Обычно такие схемы используют для снижения гравитационных потерь при сравнительно больших значениях . Учитывая, что при втором включении активный участок можно располагать симметрично по отношению к перицентру, а также то, что высота перигея больше высоты НОО, выражение для определения суммарных гравитационных потерь запишем как

где

Здесь – суммарный удельный пустотный импульс ДУ РБ; – отношение конечной массы к начальной массе ОБ для -го активного участка; –стартовая нагрузка на тягу (в начале -го активного участка).

 

Рис. 17. Трёхимпульсный переход с низкой опорной на геостационарную орбиту

 

Отметим, что без особого ущерба точности конечного результата при определении гравитационных потерь вместо реального времени  можно брать условное время , рассчитанное без учета потерь на гравитацию и управление

С учетом (51) выражение для определения гравитационных потерь для первого активного участка при старте с НОО запишется как

Отметим еще один важный момент. В том случае, если маршевые ЖРД РБ работают на криогенных компонентах, то необходимо учитывать выбросы топлива в полете, расходуемые на захолаживание трубопроводов и двигателя, а также дополнительное топливо, которое испаряется за время межорбитальных перелетов. Несмотря на то что данное топливо является балластом, его удобно включать в рабочий запас топлива. Однако при этом необходимо ввести корректировку удельного пустотного импульса. Приближенно можно считать, что

где  – топливо, которое идет на захолаживание топливных магистралей и двигателя; – суммарный рабочий запас топлива; – число включений маршевой ДУ РБ.

Относительная масса испарившегося топлива пропорциональна времени выведения ПН на целевую орбиту

где  – суммарная продолжительность полета ОБ, выраженная в часах.

В этом случае значение эффективного импульса орбитального блока будет равно

где – значение пустотного импульса ДУ РБ без учета потерь топлива на захолаживание и испарение.

В случае использования одноступенчатого РБ суммарный запас характеристической скорости ОБ связан с ПБП ОБ известным соотношением

Теперь рассмотрим более простуюзадачу – необходимо осуществиь компланарный (в одной плоскости) двухимпульсный переход с низкой опорной на солнечно-синхронную орбиту.

 Выведение полезной нагрузки на солнечно-синхронную орбиту может осуществляться различными способами:

– прямое выведение полезной нагрузки на целевую орбиту с помощью ракеты носителя;

– выведение полезной нагрузки ракетой-носителем в перигей эллиптической переходной орбиты с дальнейшим переходом в апогее на солнечно-синхронную орбиту;

– выведение полезной нагрузки ракетой-носителем на низкую опорную орбиту с дальнейшим компланарным двухимпульсным переходом с низкой опорной на солнечно-синхронную орбиту. 

Определим запас характеристическоц скорости при компланарном двухимпульсном переходе. При такой схеме выведения запас характеристической скорости двухимпульсного перехода равен сумме двух составляющих:

– – запас характеристической скорости компланарного перехода на эллиптическую переходную орбиту с высотой апогея, равной высоте солнечно-синхронной орбиты;

– – запас характеристической скорости компланарного перехода с переходной на солнечно-синхронную орбиту.

Если решать задачу в импульсной постановке, то

где  – потребный импульс скорости для совершения перехода с базовой на переходную орбиту без учета продолжительности активного участка;  – скорость в перигее переходной орбиты; – первая космическая скорость на высоте базовой или низкой опорной орбиты. При данной схеме выведения второй импульс вылаётся в апогее переходного эллипса

где  – потребный импульс скорости для совершения перелета между переходной и солнечно-синхронной орбитой; – первая космическая скорость на высоте солнечно-синхронной орбиты; – скорость в апогее переходной орбиты.

Решая задачу в импульсной постановке, мы не учитываем протяженность активных участков. В реальных условиях на активном участке полета на орбитальный блок действует сила тяжести, направленная к центру Земли. Кроме того, направление силы тяги не всегда совпадает с направлением полета, а также имеются потери на органы управления. Таким образом, если сравнивать реальный запас характеристической скорости с соответствующим значением мгновенного перехода, то необходимо учитывать потери на управление вектором тяги  и потери на гравитацию . Будем считать, что суммарные потери составляют 1% от суммарного импульса перехода.

 

Численный пример проектировочного баллистического расчёта двухступенчатой ракеты-носителя сверхлёгкого класса

Баллистическая задача, как и многие другие частные задачи баллистического проектирования, решается методом последовательных приближений. Первоначально задаётся запас характеристической скорости первой и второй ступеней двухступенчатой РН. Предварительными расчётами установлено, что при выведении ПН на НОО с наклонением, равным наклонению ССО суммарный запас характеристической скорости, как правило, находится в пределах = 9400…9450 м/с. В связи с этим, задачу проектировочного баллистического расчёта удобно решать в следующей последовательности.

1. Первоначально задаются запасы характеристических скоростей соответственно первой и второй ступеней, например: =  = 4700 м/с.

2. Решается баллистическая задача первой ступени, в результате решения которой определяются: потори характеристической скорости, относительная скорость РН в конце активного участка траектории (АУТ) первой ступени и приращение высоты полёта на этапе работы первой ступени.

3. Определяется относительная потребная конечная скорость в конце АУТ РН (во вращающейся с Землёй системе координат). Эта скорость определяется с помощью приближенной формулы пересчёта абсолютной скороси, равной первой космической, в относительную скорость (без учёта вращения Земли).

4. Решается баллистическая задача второй ступени, в результате решения которой определяются: потери характеристической скорости и относительная скорость РН в конце АУТ второй ступени, которая в общем случае будет отличаться от относительной потребной конечной скорости в конце АУТ.

5. Осуществляется корректировка запаса характеристической скорости второй ступени, определяется относительная конечная масса и проводятся баллистические расчёты второго приближения второй ступени. Первую ступень мы для простоты не трогаем. Характеристическая скорость второго приближения второй ступени будет отличаться от скорости первого приближения на разность потребной (полученной в результате пересчёта) и фактической (полученной в результате баллистического расчёта) конечных скоростей в конце АУТ. При этом значение характеристической скорости второго приближения определяется как

 

 =  + ( ),

 

 и  запасы характеристических скоростей соответственно первого и второго приближения;

 потребное значение относительной конечной скорости, соответствующее первой космической скорости в инерциальной системе координат;

 фактическое (располагаемое) значение относительной конечной скорости, равное характеристической скорости за вычетом суммарных потерь.

Следует отметить, что достаточно одного приближения для сходимости процесса.

 

В настоящее время наблюдается активный рост числа малых космических аппаратов. Основным способом доставки малых спутников на целевые орбиты пока является так называемое попутное выведение. Тем не менее, публикации последних лет говорят о возможности создания ракет-носителей сверхлёгкого класса (РН СЛК). Этот способ доставки считается более эффективным по многим параметрам в сравнении с попутным выведением. Такая возможность появилась благодаря прорывным иновационным технологиям в микроэлектронике, приборостроении, двигателестроении, материаловедении и т. д. Анализ концепций проектов разрабатываемых сверхлёгких ракет показал, что аналогом этих ракет в большинстве случае является двухступенчатые жидкостные ракеты с топливными парами: либо «кислород  керосин», либо «кислород  метан». Ниже в качестве примера предлагается баллистический расчёт и расчёт массового анализа двухступенчатой РН СЛК с метановым топливом.

Исходные данные.

Топливо: «кислород + СПГ».

Значения проектно-баллистических параметров первой ступени: ;  = 0,72;  =1,09;  = 22000 кг/м²  

Значения проектно-баллистических параметров второй ступени: =

;  = 1,2.

Параметры орбиты выведения:

i = 97,394 ;  = 500 км.

Место старта – космодром Плесецк:

.

Угол наклона вектора скорости в момент разделения ступеней.

 

Значения синуса угла наклона траектории в моменты разделения  не являются проектно-баллистическими параметром, но эта величина определяют программу движения ракеты на активном участке траектории. Следовательно, выбор значений  входит в общую задачу баллистического проектирования. При увеличении  в сравнении с некоторым оптимальным значением растут потери на гравитацию первой и второй ступеней. При уменьшении  относительно оптимума в значительной степени возрастают потери на углы атаки второй ступени двухступенчатой ракеты. В качестве критерия эффективности при выборе оптимального значения угла  можно использовать минимум суммарных потерь характеристической скорости. Предварительными расчётами установлено, что оптимальное значение угла наклона траектории в конце АУТ первой ступени для двухступенчатых РН СЛК находится в пределах  ≈ 13 …17 .

В дальнейшем при решении домашнего задания угол  буден задан в исходных данных. В частности, при рассмотрении конкретного численного примера, который будет рассмотрен ниже, принимаем:

 =13 ;  = 0,22495.

Требуется определить запас характеристической скорости, необходимый для выведения полезной нагрузки на низкую опорную орбиту высотой   = 180 км и наклонением i = 97,394 . Первая космическая скорость на низкой опорной орбите высотой 180 км равна

 

При решении краевой задачи нам необходимо определить запасы характеристической скорости первой и второй ступеней (или значения относительных конечных масс  и ), а также значение угла наклона вектора скорости к местному горизонту в момент разделения ступеней .

При проведении баллистических расчётов первоначально задаёмся значениями потерь характеристической скорости первой и второй ступеней. Затем в процессе решения краевой задачи эти значения уточняются.