Развитие методов моделирования и теории подобия

 

Учение о подобии и моделировании начало создаваться более 400 лет назад. В 15 веке обоснованием методов моделирования занимался Леонардо да Винчи. Он пытался вывести общие аналитические закономерности.

Вопросы подобия, в связи с созданием различных конструкций и их моделированием, рассматривали в 16-17 веках Галилей и Мариотт.

Научные формулировки условий подобия впервые дал Ньютон применительно к механическому движению в конце 17 в. Он заложил основы современного учения о подобии (первая теорема).

В 1822 г. Фурье доказал, что члены уравнений, описывающих физические явления, всегда имеют одинаковую размерность.

В 1874 г. В.Л.Кирпичев на основе анализа дифференциальных уравнений установил закон механического подобия при упругих деформациях и сформулировал правила моделирования.

Развитие теории подобия имеет 2 направления, основой которых является анализ:

1. Уравнений, математически описывающих изучаемые явления (анализ уравнений, разрабатывалось в нашей стране).

2. Размерностей физических величин, характеризующих эти явления (анализ размерностей, разрабатывался за рубежом)

Развитие ТП в 30-е годы осуществлено в работах М.В. Кирпичева (сына) и А.А. Гухмана, затем в 40-е г. Л.И. Седова.

Применение ТП к электротехническим задачам освещалось в 30–40-х годах в работах К.М. Поливанова, С.М. Брагина и др., затем Веникова В.А.

Современное развитие ТП происходит кроме нашей страны в США и Японии, особенно с развитием ЭВМ.

В настоящее время все крупные сооружения исследуются на моделях, например, ГЭС, в том числе Волгоградская исследовались на физических моделях. При создании космических ракет проводились исследования их аэродинамических свойств на моделях.

Широкое распространение получили модели в виде сочетания физической и математической модели с натуральными приборами, которые играют роль испытательного стенда или тренажера (САР, аналоговое моделирование).

 

Понятие подобия

 

Подобие – это сходство между двумя или более системами, объектами, процессами.

Понятия подобия первоначально заимствованно из геометрии.

Формулировка геометрического подобия: многоугольники с одинаковым числом сторон подобны, если у них соответствующие углы равны и сходственные стороны пропорциональны,

                А                                                 В

                l _3a              l _4a

                    β_a                 l _5a                           l _4в

                      l _2a                   l _1a                                          l _1в

 

 

т. е. если

;

 

.

Подобие означает существование определенных масштабных соотношений для параметров сходственных элементов (длин сторон, углов) сопоставляемых объектов (многоугольников) которые определяют правила перехода от параметров одного из объектов к сходственным параметрам другого.

Масштабные коэффициенты m _μ и m _i, характеризующие пропорциональность сходственных параметров, называются коэффициентами подобия.

Обобщенными характеристиками в теории подобия являются критерии подобия, которые принимают одинаковые значения в сходственных точках параметров: х ₁, х ₂, …, х _j, …, х _n.

Процессы подобны, если существует соответствие сходственных величин сопоставляемых систем: положений точек, параметров систем и процессов.

Сходственными точками пространства, времени и параметров процесса называется такие величины, при которых их значениям в одной системе соответствуют определенные значения в другой системе.

 

Виды подобия

 

Виды подобия подразделяются по 2 признакам:

– по степени соответствия параметров модели и оригинала;

– по адекватности физической природе подобных явлений.