RAsuM : Vfie Группа - Членство от Единственное число Матрицы .

Показатель наименьшей положительной интегральной степени, до которой матрица должна быть возведена, чтобы принадлежать группе, будет называться групповым индексом матрицы, следовательно, групповой индекс каждого члена группы равен единице. Если if является негрупповым членом индекса группы p, то 3f* и все высшие степени if являются членами группы (и все они принадлежат к одним и тем же группам), в то время как низшие степени 3f не являются членами группы. Следовательно, если f• является членом группы, а I* ' - нет, то p - групповой индекс if.

6. Автор: ссылка на каноническую форму не являющегося членом группы, как указано Автор: уравнения (1), (2), (3) из § 3, мы смотри если y в его группа - индекс, затем ряды его последовательных полномочий от первые вплоть до Cth образуют постоянно уменьшающуюся ряд целых чисел,* в то время как ряды его высших сил, начиная с Cth и далее, являются ВСЕ равный.

Более того, используя нотацию § 2, мы видим, что поскольку

и так как N ’ in состоит из компонентных матриц fi, (i 1,..., s), то M будет членом группы, если и только если, K, 0,; то есть если '* 0,s

(i m 1,...,s). Нетж е н те л ь н о й р е пр о д у к т и в н о й с и с т е м ы

0_e, is

удовлетворен e„ степень fi;. Это легче всего увидеть, рассматривая Частный случай. Например, если e, 4, то

0 1 0 0 0 0 1 0 0 0

_, 0 0 1 0 0 0 0

0 00

0 0 0 1

0 0 0 0 ^G 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

и все чем выше полномочия A, равны до 0 Поэтому самый низкий значение r для который если является a член группы является то крупнейший один от то целые числа ^e_{i ›, •.,} именно e,. Тот является, если p является tbe группа - индекс от 3f, затем p _{= °i} - это Результат

также хольда для сингулярных членов группы; ибо в их случае p m ^e_{i =} e, m 1.

Таким образом, мы имеем общее

IHEOREII: то gi•oup- индекс о, ф а единственное число malri;n ic равно ltte deyree of thai вакуум начальный дивцор o/ его cñorncferisiic drkrminonf который является от самый высокий степень.

IT следует тот каждый негрупповой член от группа - индекс p в подобном матрица имеющая по крайней мере одну неприводимую нильпотентную компоненту степени p и ни одной от выше степень; его пустота должен быть > p 1.

* Этот факт ваа замеченный Автор: Табер, Аузсикан Жуаназ или МазасуаТика, Том. XII (1890), p. 370. £tia заявление от IT делает нет вовлекать то понятие от Группа членство.

^{РАНУБ : Группа - Членство в Единственное число Муфричек .} 2Y

6. Поскольку существуют матрицы, характерные детерминанты которых имеют любой пред -- записанные элементарные делители, следовательно, степени _°. .., e, из пустота начальный делители мочь иметь Любой положительный integrnl ценности такой тот их сумма

L e, c < n, где т " является то пустота и a то степень от то матрица. следовательно то

1

Группа - индекс о матрице v может иметь любое значение от единицы до е включительно, но большего быть не может чем r; тот является, его максимальное значение равно v. Точно так же и максимальный ценность от то группа - индекс от a матрица от степень n является n.

Соответственно, cth степени всех матриц пустоты I" являются членами группы, и группы, к которым они принадлежат ранг н — в. Cth полномочия из всех матрицы что угодно от степень n являются члены группы.

Если группа - индекс от не являющийся членом группы M равно к своей пустоте е, затем там является просто один пустота начальный делитель R* (r > 1) и N является похоже на a матрица имеющий просто один неприводимый нильпотентный компонент; и наоборот.

6. Крайний случай, в котором v m n - это случай нильпотентных матриц и то матрица sero. То группа - индекс p нильпотента матрица очевидно, это показатель степени наименьшей мощности к которому он должен быть поднятым в порядке чтобы дать матрица серо. Если p имеет максимальное значение a, то существует только один элементарный делитель R^ и матрица неприводима. Наоборот, если сингулярная матрица степень n неприводима, она должна быть нильпотентной и его групповой индекс должен иметь максимальный ценность n.

6. Обращаясь снова к § 2, мы видим, что каждый негрупповой член степени n, пустота c, ранг r и групповой индекс p подобны канонической матрице, имеющей n — r неустранимые нильпотентные компоненты, сумма степеней которых равна c, при этом по крайней мере один от их является от степень p и то степени от ВСЕ то остальное являются более того, если каноническая матрица имеет одну неособую компоненту степени n — c, который мочь, или мочь нет, быть дальнейший сводимый.

То ранг r единственного числа rriatrix 3f of vacuity v может очевидно иметь Любой положительный составной значение от n — c (когда H- член группы) до n — 1 (когда ita группа - индекс p Имеет то maaimum ценность v).

Если r n — e - Джей - 1, затем _{° = °. °› =} ... == e, m 1, и q m 2. следовательно если