Вторая величина , представляющая интерес , является аналогом ( логарифмической )

существенный спектральный радиус, асимптотический показатель компактности [25]:

κ (ω) = lim

n → ∞

1

n

логарифм α (L

(n)
ω

),

где α (L) - индекс компактности оператора L,
предел этих действительных чисел t, такой, что изображение единичного шара в X
под L может быть покрыто конечным числом шаров радиуса t, так что L является
компактным оператором тогда и только тогда, когда α (L) = 0. Величина α (L)
также является субмультивативной, так что теорема Кингмана снова подразумевает, что κ (ω)
существует для P-a.e. ω и не зависит от ω, так что мы просто запишем κ.
Коцикл будет называться квазикомпактным, если κ

1

. Первая
мультипликативная эргодическая теорема в контексте квазикомпактных коциклов
операторов на банаховых пространствах была доказана Тьелленом [25]. Нам требуется
полуобратная версия (то есть: хотя базовая динамическая система
должна быть обратимой, операторы не обязательно должны быть инъективными)
результата Lian и Lu [17].

СТАБИЛЬНОСТЬ И КОЛЛАПС СПЕКТРА ЛЯПУНОВА

11

Теорема 11 ([12]). Пусть σ - обратимое эргодическое
преобразование вероятностного пространства (Ω, P), сохраняющее меру, и пусть ω → L

ω

быть
квазикомпактным сильно измеримым коциклом операторов, действующих в банаховом
пространстве X с отделимым двойственным удовлетворением

Журнал L

ω

dP(ω)

Тогда существует 1 ≤

≤ ∞, показатели λ

1

≥ λ

2

≥... ≥ λ ≥ κ ≥

− ∞, конечные кратности m

1

, м

2

,..., m и подпространства V

1

(ω),..., V (ω), W (ω)

Такой, что

(a) тусклый (V

i

(ω)) = m

i

;

(b) L

ω

V

i

(ω) = V

i

(σ (ω)) и L

ω

W (ω) ⊂ W (σ (ω));

(c) V

1

(ω) ⊕... ⊕ V (ω) ⊕ W (ω) = X;

(d) для x ∈ V

i

(ω) \ {0}, предел

1

n

Журнал L

(n)
ω

x → λ

i

;

(e) для x ∈ W (ω), lim sup

1

n

Журнал L

(n)
ω

x ≤ κ.

Для ограниченного линейного оператора A от X к самому себе мы определили

следуя грубому представлению о росте объема в [12]:

D

k

(A) = поддержка

x

1

,...,x

k

k

j=1

D(Ось

j

, lin({Ax

i

: я,

где супремум берется за x из нормы 1; lin({y

1

,..., y

n

}) de-

Отмечает линейный диапазон векторов y

1

,..., y

n

; линейный пролет

пустой набор принимается равным {0}; и d(x, S):= inf

Да

x − y.

Лемма 12. Пусть σ, (Ω, P) и ω → L

ω

Будьте как в заявлении

Теорема 11. Пусть µ

1

≥ µ

2

≥... быть последовательностью λ в уменьшении

упорядочить с повторением так, чтобы λ

i

Происходит м

i

Раз в последовательности.

А) D

k

Является суб - мультипликативным: D

k

(AB) ≤ D

k

(A)D

k

(B) если A и B

являются ограниченными линейными операторами на X;

(b) Существует постоянная c

k

таким образом, что если Y- замкнутое подпространство
X соразмерности 1, а A- линейный оператор на X, то
D

k

(A) ≤ c

k

A

А |

Y

к − 1

.

(c)

1

n

Журнал D

k

(L

(n)
ω

) → µ

1

+... + µ

k

для P- почти каждый ω;

Доказательство этого содержится в леммах 1,8 и 12 из [12].

Спектр Ляпунова для расширения продуктов Блашке

Лемма 13. Пусть R < 1 и пусть T- произведение Блашке, удовлетворяющее
r:= r

T

(R)

R

Быть гиперболической метрикой на D

R

: d

R

(z, w) =

d

H

(z/R, w/R), где d

H

Является стандартной гиперболической метрикой на единице

Диск. Затем

d

R

(T (z), T (w)) ≤

r

R

d

R

(z, w) для всех z, w ∈ D

R

.

12

СЕСИЛИЯ ГОНЦ

АЛЕЗ - ТОКМАН И ЭНТОНИ КВАС

Доказательство. Мы можем записать T как Q ◦ S, где Q(z) = rz/R и S(z) =
RT (z)/r, так что S отображает D

R

К себе. По теореме Шварца - Пика,

d

R

(S(z), S(w)) ≤ d

R

(z, w) для всех z, w ∈ D

R

, поэтому этого достаточно, чтобы показать, что

d

R

(Q(z), Q(w)) ≤

r

R

d

R

(z, w) для всех z, w ∈ D

R

Метрика d

R

Дается,

До постоянного кратного

d

R

(z, w) = inf

γ

|d ξ |

1 − | ξ |

2

/R

2

где нижний предел берется по путям γ от z до w. Учитывая z и w, пусть
γ - геодезическая, соединяющая их. Теперь (r/R) γ (t) - это путь (обычно не
геодезический), соединяющий Q(z) и Q(w). Элемент длины масштабируется
в r/R, а подынтегральное выражение уменьшается, так что d

R

(Q(z), Q(w)) ≤

r

R

d

R

(z, w) как заявлено.

Следствие 14. Пусть R

ω

)

ω ∈ Ω

Быть измеримым коциклом

из расширяющихся конечных произведений Блашке, удовлетворяющих r:= r

T

(R)

Существует измеримая случайная неподвижная точка x

ω

(то есть такой момент

Что Т

ω

(x

ω

) = x

σ (ω)

) в D

r

Такое, что для всех

> 0, существует n таких

это для всех з ∈ Д

R

и а. е. ω ∈ Ω, |T

(n)

σ

− н

ω

(z) − x

ω

| <.

Доказательство. Набор D

r

Имеет ограниченный диаметр, L скажем, в d

R

Метрика и

исходя из предположения, что, например, для ω, множества T

(n)

σ

− н

ω

(D

R

) являются вложенными. По лемме

Т

(n)

σ

− н

ω

(D

R

) имеет d

R

- диаметр не более L(

r

R

)

н− 1

По полноте,

T

(n)

σ

− н

ω

(D

R

) является одноэлементным, {x

ω

}. Начиная с x

ω

= lim

n → ∞

T

(n)

σ

− н

ω

(0), и так

Является пределом измеримых функций, мы видим, что x

ω

В значительной степени зависит

на ω. Это равенство также подразумевает, что x

σ (ω)

= T

ω

(x

ω

). С тех пор на D

r

, д

R

находится
в пределах ограниченного коэффициента евклидова расстояния, мы получаем требуемую
равномерную сходимость на евклидовом расстоянии.

Мы вводим нестандартное определение порядка сингулярности для

рациональные функции на сфере Римана: если x ∈ C, ord

x

(f) равно n, если

f (z) ∼ a/(z − x)

n

как z → x для некоторого n ≥ 1; или 0 в противном случае. Если f (z) ∼

Бз

n − 2

для некоторого n ≥ 1 при z → ∞ тогда ord

∞

(f) = n или ord

∞

(f) = 0