Общие правила дифференцирования

 

Теорема 3.4 (о дифференцированиисуммы, разности, произведения и частного функций). Пусть функции  определены в некоторой окрестности точки   Если эти функции дифференцируемы в точке  то их сумма, разность, произведение и частное также дифференцируемы в точке  при этом в точке   имеют место соотношения, приведенные в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Производные	Дифференциалы

 

Эти формулы называют общими правилами дифференцирования.

Если точка    не указана, то функцию дифференцируют при произвольном значении , принадлежащем области определения функции. Если точка   указана, то сначала функцию дифференцируют при произвольном значении , принадлежащем области определения функции, а затем вычисляют значение производной или дифференциала в точке .

Пример 3.7. Найти производную функции

□ Применим правило 3 дифференцирования произведения функций: . Затем по правилу 2 из табл. 3.2 находим производную разности двух функций:  Производные  взяты из табл. 3.1 (см. формулы 2, 1 и 3 соответственно):  Подставим эти производные и получим: ■

Пример 3.8. Найти  производную и дифференциал функции  в точке

□ Преобразуем логарифмическую функцию, произведя переход к основанию, равному числу ,  по формуле:  

Найдем производную и дифференциал в произвольной точке  Для этого воспользуемся  правилом 5 дифференцирования частного и формулами 1 и 4 из табл. 3.1 для производных функций  соответственно:

. Дифференциал выразим по формуле (3.5):

.

 

Теперь в найденные выражения подставим  и получим: ■

 

3.2.3.Дифференцирование сложной и неявной функции. Инвариантное свойство дифференциала

 

Теорема 3.5 (о производной сложной функции). Если функция  дифференцируема в точке , функция  дифференцируема в точке то сложная функция  дифференцируема в точке  и ее производная в этой точке вычисляется по формуле:

    , или  кратко         (3.7)

В точке   верна и такая запись: . Переменные  называют зависимой  и независимой переменной дифференцирования соответственно.

 Правило дифференцирования сложной функции приводит к важному свойству, называемому инвариантным свойством первого дифференциала.

Дифференциал функции  записывается в одной и той же форме

                                                     ,                                                   (3.8)

как в случае независимой, так и в случае зависимой переменной .

Из этого свойства следует, что формула для вычисления дифференциала  единая, не зависящая от вида переменной  Различие состоит лишь в способе вычисления дифференциала  

1)     для независимой переменной  дифференциал

2) для зависимой переменной  дифференциал вычисляется по формуле

Пример 3.9. Найти производную и дифференциал сложной функции

□ По формуле (3.7) имеем:

         

Далее пользуемся формулой (3.5):

Заметим, этот результат можно было получить другим способом − методом исключения зависимой переменной : , и последующим дифференцированием полученного произведения:   ■

Пример 3.10. Найти производную и дифференциал функции

□ Запишем эту сложную функцию  в виде композиции двух функций:  Применим формулу (3.7) и получим:

 Подставим производную в формулу (3.5) и найдем дифференциал:

При значение производной равно  Выражение для дифференциала имеет вид  и является линейной функцией дифференциала ■

 

Дифференцирование  неявной  функции с помощью правила дифференцирования сложной функции

 

Правило дифференцирования сложной функции можно применять при нахождении производных и дифференциалов неявных фунций.

Рассмотрим уравнение  Это соотношение называют неявным уравнением, связывающим неявную функцию и независимую переменную  (см. раздел 1.3.2).

Например, уравнения  и  определяют одну и ту же функцию, но отличаются друг от друга формой представления. В первом случае квадратичная функция задана явно, а во втором − неявно.

 Будем полагать, что на множестве D существует дифференцируемая функция , обращающая уравнение в тождество . Дифференцируя обе его части как сложную функцию по переменной , получим линейное уравнение относительно производной . Решив его, найдем производную  в виде функции переменных  Тогда по формуле (3.5) дифференциал  

Покажем, что выражения для производной функции, заданной соотношениями  и , совпадают. В первом случае (явное задание функции):    Во втором (неявное задание функции):

. Как видим, результат не зависит от способа его получения.

Если в качестве независимой переменной выбрана переменная , то уравнение  можно рассматривать как соотношение, определяющее неявную функцию  Поиск производной  () и дифференциала  выполняют способом, аналогичным выше описанному.

Пример 3.11. Найти производную  и дифференциал  функции, заданной неявно уравнением

□ Полагаем, что существует функция  независимой переменной , удовлетворяющая заданному уравнению. Дифференцируем данное соотношение по

Уединим производную и получим: .

По формуле (3.5) . ■

Другой способ отыскания производной неявной функции с формулировкой условий ее существования рассмотрен в разделе 5.2.9.