Кристаллографические системы координат.

Плоскости симметрии, оси симметрии (простые и инверсионные), центр симметрии обнаруживаются в кристаллах в различных сочетаниях. Например, поваренная соль (NaCl) кристаллизуется в форме кубов, алмаз, кварцы - в форме октаэдров (восьмигранников). Но полный набор элементов симметрии у этих разных многогранников один и тот же: девять плоскостей m(P) - три координатные и шесть диагональных, три оси 4(L₄), четыре оси 3(L₃), шесть осей 2(L₂) и центр симметрии С. В шестигранном карандаше отчетливо проявляется иная симметрия, в которой ось симметрии 6(L₆) является единственной и ее нельзя повторить никакими другими операциями симметрии, свойственными этим кристаллам. Единственное, не повторяющееся в многограннике направление называется   особым или   единичным.

Единичным направлением является ось 6 в шестигранной призме или пирамиде, ось 4 - в четырехгранной призме или пирамиде. Но ось 4 в кубе или октаэдре - уже не единичная. Этих осей здесь три и каждая из них может совместиться с другой такой же осью путем отражения в плоскости симметрии.

По симметрии и числу единичных направлений кристаллы делятся на три категории: высшую,   среднюю и низшую.

Кристаллы высшей категории не имеют единичных направлений. У них обязательно есть несколько осей порядка выше, чем 2. Это высокосимметричные кристаллы: любому направлению соответствуют другие симметрично эквивалентные направления. Свойства кристалла в симметрично эквивалентных направлениях одинаковы, поэтому анизотропия свойств в кристаллахвысшей категории выражена слабее всего. Многие физические свойства (электропроводность, теплопроводность, показатель преломления) в этих кристаллах изотропны, а анизотропия других свойств гораздо слабее. Внешняя форма кристаллов высшей категории, как правило, изометрична, т.е. развита примерно одинаково во все стороны, как у куба, октаэдра, тетраэдра.

Кристаллы средней категории имеют одно особое направление: одна ось симметрии порядка выше, чем 2 (ось 3,4 или 6-го порядка, простая или инверсионная). Анизотропия физических свойств у этих кристаллов гораздо сильнее. Особенно заметно различие свойств вдоль и поперек главной оси симметрии. Характерные формы кристаллов средней категории - призмы, пирамиды.

К низшей категории относятся кристаллы, у которых нет осей симметрии порядка выше, чем 2, а единичных направлений несколько. Это наименее симметричные кристаллы с ярко выраженной анизотропией свойств.

Три категории, в свою очередь делятся на 7 сингоний. В сингонию объединяются те кристаллы, для которых одинакова симметрия элементарных ячеек их структур и одинакова система координат, рис. 12.

Трехмерная система координат в анизотропной кристаллографической среде выбирается в соответствии с симметрией среды. В общем случае - это косоугольные координаты с неодинаковыми масштабными отрезками по осям. В кристаллографических системах координат можно описывать любую грань и любое ребро кристалла тремя простыми целыми числами.

В кристаллографии пользуются всегда правой системой координат. Оси координат выбираются по осям симметрии или по нормалям к плоскостям симметрии, а если нет ни тех, ни других (в низшей категории), то по ребрам кристаллического многогранника. Классификация кристаллов по сингониям определяется выбором кристаллографической системы координат, т.е. элементарной ячейки кристалла (ее так называемой метрики – a,b,c,a,b,g). В таблице  дано разделение кристаллов на категории и сингонии, а на рис.12 приведены формы примитивных элементарных ячеек.

 

В высшей категории одна сингония - кубическая. Это единственная сингония, симметрии которой отвечает декартова система координат.

К средней категории относятся три сингонии: тригональная, тетрагональная, гексагональная. За главную ось симметрии в этих трех сингониях всегда принимается ось Z, а оси X, Y расположены в плоскости, перпендикулярной главной оси. Единичные отрезки по осям X,Y одинаковы (a = b), поэтому метрика кристаллов средней категории характеризуется отношением c/а, являющимся константой анизотропии вещества.

К низшей категории относятся три сингонии: ромбическая, моноклинная и триклинная. Для каждой сингонии надо знать установленный условный порядок расположения осей координат - так называемые правила кристаллографической установки (таблица и рис.12), поэтому от расположения осей зависят кристаллографические индексы.

Классом или видом симметрии какого-либо объекта называют полную совокупность операций симметрии (иначе говоря, возможных симметричных преобразований) этого объекта. Все многообразие симметрии кристаллических многогранников и их физических свойств описывается 32 классами симметрии.

Формула симметрии состоит из записанных подряд всех элементов симметрии данного объекта.

На первом месте принято писать оси симметрии от высших к низшим, на втором - плоскости симметрии, затем центр. Так, формула симметрии куба 3L₄4L₃6L₂9PC. Для вывода всех возможных классов симметрии кристаллов примем ось симметрии за основной порождающий элемент симметрии. Добавляя поочередно другие элементы, образуем всевозможные их сочетания, рис.13. Сначала рассмотрим случаи, когда выбранная ось симметрии является единичным направлением.

Простейшие (примитивные) классы симметрии. Имеетсятолько одна осьсимметрии n-порядка вдоль единичного направления (рис.13а).

Центральные классы симметрии: добавляется к единичной оси центр симметрии, рис.13б.

Планарные классы симметрии: вдоль порождающей оси симметрии проводится плоскость симметрии, рис.13в.

Аксиальные классы симметрии получаются, если добавить ось 2 перпендикулярно единственной оси симметрии, рис.13г.

Добавляя к порождающей оси симметрии поперечную плоскость (рис.13д), получим лишь одно новое сочетание - инверсионно-примитивный класс 6. Этот класс относят к гексагональной сингонии.

Планаксиальные классы симметрии получаются, если к порождающей оси симметрии n-го порядка добавить центры симметрии, параллельные плоскости симметрии и перпендикулярные оси 2 (рис.13е). Для четных осей при этом появятся еще и поперечные плоскости m.

Ниже приведена сводка обозначений и названий классов симметрии.

 

 

 

 

ЗАДАЧА 1.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ И ТОЧЕЧНЫХ ГРУПП

КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ МОГОГРАННИКОВ.

 

1.Определить элементы симметрии для 3 фигур конечной формы. Составить формулу симметрии многогранника.

2. Установить точечные группы этих фигур и доказать, что набор элементов симметрии образует группу.

3. Определить класс кристалла, сингонию кристалла и его категорию.

 

 

 

ЗАДАЧА 2

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ИНДЕКСОВ УЗЛОВ, РЕБЕР, НАПРАВЛЕНИЙ, ГРАНЕЙ И ЭЛЕМЕНТОВ СИММЕТРИИ КРИСТАЛЛА.

 

1. Для куба и октаэдра установите символы граней, осей симметрии, ребер и т.д.

2. Определить угол между направлением грани (hkl) и направлением [hkl].

3. Перечислите плоскости, входящие в семейство {111}, {110}, {100} для кубического кристалла.

ЗАДАЧА 3

Ознакомиться с простыми формами кристаллов.