Истечение жидкости при переменном напоре

 

Типичным примером неустановившегося движения является истечение жидкости из резервуаров и водохранилищ при переменном напоре, т.е. когда уровни в них повышаются или понижаются, при этом  гидравлические параметры потока, его скорость и давление непрерывно изменяются по времени. Обычно в таких задачах требуется определить время опорожнения (сработки) объема. Аналогичной задачей является расчет наполнения резервуаров, шлюзовых камер, водохранилищ и т.п.

От формы резервуара зависит сложность расчета. Так определение времени опорожнения призматического резервуара, имеющего неизменное поперечное сечение по высоте, т.е. Q = const, представляет значительно более простую задачу, чем непризматического.

Рассмотрим резервуар произвольной формы (рис. 7) с площадью поперечного сечения, с отверстием площадью живого сечения w внизу, через которое вытекает жидкость. Сверху в резервуар поступает расход Q ₀. В зависимости и от отношения расходов Q и Q ₀ резервуар может либо наполняться, либо опорожняться. Допустим, что Q > Q ₀ и необходимо определить время понижения уровня в резервуаре от Н₁ до Н₂. За время dt из резервуара вытечет объем жидкости:

 

Qdt = m w dt.

И за это же время поступит воды в объеме Q_odt. Разность объемов равна:

 

m w dt - Q_odt = Ωdh,

отсюда:

t = W dh /(m w - Q_o).

Чтобы найти время понижения уровня воды в резервуаре от H ₁ до Н₂, надо просуммировать все элементарные отрезки времени dt, т.е. проинтегрировать выражение:

 

                              Н₂

t = dt = òW dh /(m w - Q_o).                        

 Н₁

Полученное уравнение является общей формулой для определения времени опорожнения или наполнения водохранилищ. Если Q _о =0, то уравнение упрощается:

 

                   Н₂

t = dt = òW dh /(m w ).

             Н₁

 

Следует отметить, что для точного нахождения интеграла, надо знать функциональную зависимость Ω от Н; (кроме того, необходимо иметь такую же зависимость и для Q_o, если он переменен по времени). Обычно Ω = f (H) и Q _о = f (t) задаются в виде графиков.

При переменных Ω и Q _о расчет усложняется, уравнение 8.38 нельзя интегрировать, так как в нем не произведено переменных. Тогда поступают следующим образом: объем опорожнения на отдельные слои высотой DH и для каждого слоя высотой DH находят соответствующую этой высоте среднюю площадь Ω _i; по заданной кривой Ω = f (H). Кроме того, по заданному графику Q ₀ = f (t) на данный момент времени определяют Q ₀ и, подставляя полученные значения в последнюю формулу, получают время D t ₁, в течение которого уровень воды опустится наD H

 

D t ₁ = W ₁ D h /(m w - Q_o).

Время D t_i сработки любого слоя резервуара D H _i определяется аналогично:

 

D t_i = W _i D h /(m w - Q_o).

 

Суммируя полученные отрезки времени, найдем время сработки резервуара от Н₁ до Н_{2 .}  Если требуется определить время полного опорожнения резервуара, то высота Н₁ разбивается на отдельные отрезки Δ Н=Н₁/ n и ведется аналогичный подсчет.

При опорожнении призматического резервуара без притока жидкости извне уравнение

 

      Н₂

t = dt = òW dh /(m w )= 2 W /(m w ) × ( - )

  Н₁

Последнее уравнение используется при расчетах шлюзов.

При полном опорожнении резервуара, при Н₂=0:

 

t =2 W /(m w )= 2 W Н₁/(m w )= .

Предположим, что истечение жидкости объемом W ₁  происходит при постоянном напоре H ₁ за время:

t = W ₁ /(m w ,

т.е. время полного опорожнения равно удвоенному его объему, деленному на первоначальный расход. Следовательно, время полного опорожнения призматического резервуара при переменном напоре в 2 раза больше времени t ₁ вытекания из резервуара такого же объема W ₁ при постоянном напоре, равном первоначальному напору H ₁.   

При истечении жидкостей большой вязкости (при Re <10) время опорожнения можно найти по формуле

 

t = 29W n lg (Н₁/Н₂ )/ gdw.