Тема 2. Работа и мощность тока. КПД источника тока. Закон Джоуля-Ленца

Работа и мощность тока. КПД источника тока

При прохождении электрического заряда q по любому участку цепи, на концах которого приложено напряжение U, электрическое поле за время t совершает над зарядами работу:

                              .                    (2.1)

Разделив работу А на время t, за которое она совершается, получим мощность, развиваемую током на рассматриваемом участке цепи:

                                       .                              (2.2)

Полная мощность, развиваемая источником тока с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r, замкнутым на сопротивление R, равна работе, совершаемой сторонними силами за единицу времени:

                             .                           (2.3)

     Во внешней цепи выделяется мощность (полезная мощность)

                .               (2.4)

    Максимальная полезная мощность

                                                                                           (2.5)

достигается при R = r.

Отношение η= P / P ₀, равное

                                         ,                         (2.6)

называется коэффициентом полезного действия источника тока.

При R = r КПД источника равен 50 %. Максимальное значение КПД источника достигается при I → 0, т. е. при R → ∞. В случае короткого замыкания (R =0) полезная мощность P = 0, и вся мощность выделяется внутри источника, что может привести к его перегреву и разрушению. КПД источника при этом обращается в нуль.

 

Закон Джоуля-Ленца

    В случае, когда проводник неподвижен и химических превращений в нем не происходит, то работа тока целиком расходуется на нагревание проводника. Количество теплоты, выделяющееся в проводнике за конечный промежуток времени при прохождении постоянного тока I, рассчитывается по формуле

                                                         .                                       (2.7)

    Формула (2.7) выражает закон Джоуля-Ленца для участка цепи постоянного тока: количество теплоты, выделяемое постоянным электрическим током на участке цепи, равно произведению квадрата силы тока на время его прохождения и электрическое сопротивление этого участка цепи.

    Так как IR = U, то формулу (2.7) можно переписать в виде

                                                   .                                   (2.8)

Если сила тока изменяется со временем, то количество теплоты, выделяющееся за время t, вычисляется по формуле

                                                 .                                           (2.9)

    Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме (для данной точки проводника с током) имеет вид

                                                     ,                                (2.10)

где ω − плотность тепловой мощности; σ − удельная электропроводность; Е − напряженность электрического поля в данной точке проводника; Е ^* − напряженность поля сторонних сил.

Примеры решения задач

Задача 1. За время τ = 20 с при равномерно возраставшей силе тока от нуля до I_o в проводнике сопротивлением R = 5 Ом выделилось количество теплоты Q = 4 кДж. Найти I_o.

 

Io –?	Решение: Так как ток равномерно возрастает, то зависимость силы тока от времени имеет вид                                            .                        (1)
τ = 20 с R = 5 Ом Q = 4 кДж

По закону Джоуля-Ленца за время dt в проводнике выделится количество тепла

.

Полное количество тепла за время от 0 до τ

.

Отсюда находим

; .

Ответ: I ₀ = 11 А.

 

Задача 2. При включении электромотора в сеть с напряжением U = 220 В он потребляет ток I = 5 А. Определить мощность, потребляемую мотором, и его КПД, если сопротивление обмотки мотора R = 6 Ом.

 

P п –? η –?	Решение:  Полная мощность, потребляемая мотором:                               ,                               Р0 = 1100 Вт.
U = 220 В I = 5 А           R = 6 Ом

     Мощность, выделяющаяся в виде тепла:

.

Полезная мощность (механическая)

.

КПД мотора

;

.

Ответ: η = 86,4%.

 

Задача 3. Источник тока с ЭДС замкнут на реостат. При силе тока I ₁ = 0,2 А и I ₂ = 2,4 А на реостате выделяется одинаковая мощность. Найти:

1) при какой силе тока на реостате выделяется максимальная мощность?

2) чему равна сила тока короткого замыкания?

 

I –? I кз –?	Решение: При силе тока I 1 на реостате выделяется мощность                                    , при силе тока I 2 ,
I 1 = 0,2 А
I 2 = 2,4 А P 1 = P 2

где R ₁ и R ₂ – сопротивления реостата в каждом случае. По условию P₁ = P₂, поэтому

                                                .                                        (1)

По закону Ома для полной цепи

                                                    ,                                              (2)

                                                     .                                            (3)

Из (2) и (3) выражаем R ₁ и R ₂:

  ; ,

подставив их в (1), получаем:

.

Отсюда находим отношение :

;

.

Максимальная мощность выделяется при условии R = r, при этом ток

                                                      .                                             (4)

Ток короткого замыкания

                                                    .                                                (5)

 

Произведем вычисления:

; .

Ответ: I = 1,3 А; I _кз = 2,6 А.

 

Задача 4. При изменении внешнего сопротивления с R ₁ = 6 Ом до R ₂ = 21 Ом. КПД схемы увеличился вдвое. Чему равно внутреннее сопротивление источника тока r?

 

r −?	Решение: При сопротивлении R1 КПД источника тока , а при сопротивлении R2
R 1 = 6 Ом R 2 = 21 Ом η2 = 2η1

.

Так как по условию задачи η₂=2η₁, то

.

Отсюда выражаем r:

;

   .

Ответ:   r = 14 Ом.

 

Задача 5. Две батареи с ЭДС ε₁ = 20 В и ε₂ = 30 В и внутренними сопротивлениями r ₁ = 4 Ом и r ₂ = 60 Ом соединены параллельно и подключены к нагрузке R = 100 Ом. Найти: 1) мощность, которая выделяется в нагрузке; 2) параметры ε и r генератора, которым можно заменить батареи без изменения тока в нагрузке; 3) КПД этого генератора.

 

P –? ε, r –? η –?	Решение: Рис. 52
ε1 = 20 В ε2 = 30 В r1 = 4 Ом r2 = 60 Ом R = 100 Ом

Используя правила Кирхгофа, найдем токи I ₁, I ₂, I в узле A:

 

                                   .                                                (1)

 

Для контура a с обходом против часовой стрелки

 

                                       .                                            (2)

 

Для контура b с обходом против часовой стрелки

 

                                         .                                           (3)

Решим систему линейных уравнений (1) – (3) относительно I ₁, I ₂, I.

Из (1) выразим I

                                               .                                                  (4)

Подставим в (3)

или

                                           .                                    (5)

Умножая уравнение (2) на R, а уравнение (5) – на r₁, и складывая их, получаем:

                                              .                             (6)

Подставляя (6) в выражение (2), находим I ₁:

.

Отсюда

                                         .                                (7)

Подставляя выражения (6) и (7) в (4), находим I:

                                             .                                   (8)

В нагрузке выделяется мощность:

;

.

Находим параметры генератора. Если данные в задаче батареи заменить на одну с ЭДС ε и внутренним сопротивлением r, то через сопротивление R потек бы ток

                                                    .                                           (9)

 

Преобразуем выражение (8), поделив числитель и знаменатель дроби на (r ₁ + r ₂), получим

                                               .                               (10)

Для того чтобы эти выражения были одинаковыми, необходимо выполнение условий:

;

;

.

КПД этого генератора в данной схеме

;

Ответ: η = 96,4 %.