Элементы теории упругости: выражение для удельной потенциальной энергии деформации.

Потенциальной энергией деформации называется энергия, накапливаемая в теле при его упругих деформациях. Под действием внешней статической нагрузки тело деформируется, точки приложения внешних сил перемещаются и потенциальная энергия положения внешних нагрузок уменьшается на величину, равную работе внешних сил на вызванных ими перемещениях. Энергия, потерянная внешними силами, не исчезает, а превращается, в основном, в потенциальную энергию деформации тела. Остальная, незначительная часть энергии рассеивается, главным образом, в виде тепла за счет различных процессов, происходящих в материале при его деформации.
Вычислим полную потенциальную энергию, накапливаемую в элементарном параллелпипеде при его упругой деформации. В качестве объекта элемент, приведенный на рис.10.1.

(10.1)

Рис.10.1

Потенциальная энергия деформации накапливается в обратимой форме – в процессе разгрузки тела она снова превращается в энергию внешних сил или кинетическую энергию. Величину потенциальной энергии, накапливаемую, в единице объема материала, принято называть удельной потенциальной энергией:

(10.2)

Подставляя в (10.2) выражения для относительной деформации из (9.73), получаем:

(10.3)

Выражение (10.3) записано для удельной потенциальной энергии для случая, когда известны значения главных напряжений и деформаций. В том случае, если известны неглавные нормальные напряжения и, касательные напряжения, соответствующие линейные удлинения, и угловые деформации полная потенциальная энергия, накапливаема в элементарном параллелепипеде, равна:

(10.4)

Удельная потенциальная энергия имеет вид:

(10.5)

или

(10.6)

Иногда удельную потенциальную энергию удобно выразить через деформации:

(10.7)

где; - объемная деформация; K - объемный модуль упругости (9.85).
При деформации элемента меняется как его объем, так и форма (из кубика он превращается в параллелепипед) (Рис.10.1). В связи с этим можно считать, что полная удельная потенциальная энергия деформации состоит из удельной потенциальной энергии изменения объема и удельной потенциальной энергии изменения формы:

(10.8)

Вначале вычислим удельную потенциальную энергию изменения объема. Для этого сделаем предположение о том, что в различных элементах (Рис.10.2) при действии разных главных напряжений величина будет одинаковой, если у элементов будет одинаковое изменение объема элемента.

Рис.10.2

На рис.10.2,а изображен элемент со стороной, равной единице (единичный элемент), нагруженный различными по величине главными напряжениями. На рис.10.2,б приведен вспомогательный единичный элемент, по граням которого действуют одинаковые главные напряжения. Для этого элемента относительное изменение объема будет равно:

(10.9)

а полная удельная энергия деформаций из формулы (10.3):

(10.10)

Дополнительный элемент (Рис.10.2,б) при деформации меняет только объем, форма его остается кубической. Следовательно, =0, и значит:

(10.11)

Величину определим из условия равенства относительных изменений объемов обоих элементов:

(10.12)
Отсюда

Поскольку у обоих элементов изменения объемов одинаковы, на основании принятого предположения можно утверждать, что

(10.13)