А. Задачи на проценты, смеси, сплавы

А. Задачи на проценты, смеси, сплавы

1) Че­ты­ре ру­баш­ки де­шев­ле курт­ки на 8%. На сколь­ко про­цен­тов пять ру­ба­шек до­ро­же курт­ки?

Ре­ше­ние. Сто­и­мость че­ты­рех ру­ба­шек со­став­ля­ет 92% сто­и­мо­сти курт­ки. Зна­чит, сто­и­мость одной ру­баш­ки со­став­ля­ет 23% сто­и­мо­сти курт­ки. По­это­му сто­и­мость пяти ру­ба­шек со­став­ля­ет 115% сто­и­мо­сти курт­ки. Это пре­вы­ша­ет сто­и­мость курт­ки на 15%.                             Ответ: 15.

2) Семья со­сто­ит из мужа, жены и их до­че­ри сту­дент­ки. Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%. Сколь­ко про­цен­тов от об­ще­го до­хо­да семьи со­став­ля­ет зар­пла­та жены?

Ре­ше­ние. Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зар­пла­та мужа со­став­ля­ет 67% до­хо­да семьи. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%, то есть 2/3 сти­пен­дии со­став­ля­ют 4% до­хо­да семьи, а вся сти­пен­дия до­че­ри со­став­ля­ет 6% до­хо­да семьи. Таким об­ра­зом, доход жены со­став­ля­ет 100% − 67% − 6% = 27% до­хо­да семьи.                                                                           Ответ: 27.

3) Цена хо­ло­диль­ни­ка в ма­га­зи­не еже­год­но умень­ша­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов от преды­ду­щей цены. Опре­де­ли­те, на сколь­ко про­цен­тов каж­дый год умень­ша­лась цена хо­ло­диль­ни­ка, если, вы­став­лен­ный на про­да­жу за 20 000 руб­лей, через два года был про­дан за 15 842 руб­лей.

Ре­ше­ние. Пусть цена хо­ло­диль­ни­ка еже­год­но сни­жа­лась на про­цен­тов в год. Тогда за два года она сни­зи­лась на , от­ку­да имеем:

                                                                               Ответ: 11.

4) Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 15–про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 19–про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние. Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра равна . Пусть объем по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра лит­ров. Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

 

                                                                 Ответ: 17.

5) Ви­но­град со­дер­жит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 20 ки­ло­грам­мов изюма?

Ре­ше­ние.  Ви­но­град со­дер­жит 10% пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, а изюм — 95%. По­это­му 20 кг изюма со­дер­жат кг пи­та­тель­но­го ве­ще­ства. Таким об­ра­зом, для по­лу­че­ния 20 ки­ло­грам­мов изюма тре­бу­ет­ся кг ви­но­гра­да.                                                                        Ответ: 190.

 

6) Сме­шав 30-про­цент­ный и 60-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 36-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 30-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Ре­ше­ние. Пусть масса 30-про­цент­но­го рас­тво­ра кис­ло­ты – кг, а масса 60-про­цент­но­го – . Если сме­шать 30-про­цент­ный и 60-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вить кг чи­стой воды, по­лу­чит­ся 36-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: . Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: . Решим по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний:

Ответ: 60.

В. Задачи на прогрессию.

1) Бри­га­да ма­ля­ров кра­сит забор дли­ной 240 мет­ров, еже­днев­но уве­ли­чи­вая норму по­крас­ки на одно и то же число мет­ров. Из­вест­но, что за пер­вый и по­след­ний день в сумме бри­га­да по­кра­си­ла 60 мет­ров за­бо­ра. Опре­де­ли­те, сколь­ко дней бри­га­да ма­ля­ров кра­си­ла весь забор.

Ре­ше­ние. Пусть бри­га­да в пер­вый день бри­га­да по­кра­си­ла мет­ров за­бо­ра, во вто­рой – , …, в по­след­ний – мет­ров за­бо­ра. Тогда м, а за дней было по­кра­ше­но

мет­ров за­бо­ра.

По­сколь­ку всего было по­кра­ше­но 240 мет­ров за­бо­ра, имеем: . Таким об­ра­зом, бри­га­да кра­си­ла забор в те­че­ние 8 дней.                                                                               Ответ: 8.

2) Васе надо ре­шить 490 задач. Еже­днев­но он ре­ша­ет на одно и то же ко­ли­че­ство задач боль­ше по срав­не­нию с преды­ду­щим днем. Из­вест­но, что за пер­вый день Вася решил 5 задач. Опре­де­ли­те, сколь­ко задач решил Вася в по­след­ний день, если со всеми за­да­ча­ми он спра­вил­ся за 14 дней.

Ре­ше­ние. В пер­вый день Вася решил задач, в по­след­ний — задач. Всего надо ре­шить задач. По­сколь­ку , где имеем:

.

Тогда задач.                                         Ответ: 65.

3) Биз­не­смен Буб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре 5000 руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 300% по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. Сколь­ко руб­лей за­ра­бо­тал Буб­ли­ков за 2003 год?

Ре­ше­ние. Биз­не­смен Буб­ли­ков по­лу­чил в 2000 году при­быль в раз­ме­ре руб­лей. Каж­дый сле­ду­ю­щий год его при­быль уве­ли­чи­ва­лась на 300%, то есть в раза, по срав­не­нию с преды­ду­щим годом. За 2003 год Буб­ли­ков за­ра­бо­тал

руб­лей.                                                                 Ответ: 320000.

А. Задачи на проценты, смеси, сплавы

1) Че­ты­ре ру­баш­ки де­шев­ле курт­ки на 8%. На сколь­ко про­цен­тов пять ру­ба­шек до­ро­же курт­ки?

Ре­ше­ние. Сто­и­мость че­ты­рех ру­ба­шек со­став­ля­ет 92% сто­и­мо­сти курт­ки. Зна­чит, сто­и­мость одной ру­баш­ки со­став­ля­ет 23% сто­и­мо­сти курт­ки. По­это­му сто­и­мость пяти ру­ба­шек со­став­ля­ет 115% сто­и­мо­сти курт­ки. Это пре­вы­ша­ет сто­и­мость курт­ки на 15%.                             Ответ: 15.

2) Семья со­сто­ит из мужа, жены и их до­че­ри сту­дент­ки. Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%. Сколь­ко про­цен­тов от об­ще­го до­хо­да семьи со­став­ля­ет зар­пла­та жены?

Ре­ше­ние. Если бы зар­пла­та мужа уве­ли­чи­лась вдвое, общий доход семьи вырос бы на 67%, то есть зар­пла­та мужа со­став­ля­ет 67% до­хо­да семьи. Если бы сти­пен­дия до­че­ри умень­ши­лась втрое, общий доход семьи со­кра­тил­ся бы на 4%, то есть 2/3 сти­пен­дии со­став­ля­ют 4% до­хо­да семьи, а вся сти­пен­дия до­че­ри со­став­ля­ет 6% до­хо­да семьи. Таким об­ра­зом, доход жены со­став­ля­ет 100% − 67% − 6% = 27% до­хо­да семьи.                                                                           Ответ: 27.

3) Цена хо­ло­диль­ни­ка в ма­га­зи­не еже­год­но умень­ша­ет­ся на одно и то же число про­цен­тов от преды­ду­щей цены. Опре­де­ли­те, на сколь­ко про­цен­тов каж­дый год умень­ша­лась цена хо­ло­диль­ни­ка, если, вы­став­лен­ный на про­да­жу за 20 000 руб­лей, через два года был про­дан за 15 842 руб­лей.

Ре­ше­ние. Пусть цена хо­ло­диль­ни­ка еже­год­но сни­жа­лась на про­цен­тов в год. Тогда за два года она сни­зи­лась на , от­ку­да имеем:

                                                                               Ответ: 11.

4) Сме­ша­ли не­ко­то­рое ко­ли­че­ство 15–про­цент­но­го рас­тво­ра не­ко­то­ро­го ве­ще­ства с таким же ко­ли­че­ством 19–про­цент­но­го рас­тво­ра этого ве­ще­ства. Сколь­ко про­цен­тов со­став­ля­ет кон­цен­тра­ция по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра?

Ре­ше­ние. Кон­цен­тра­ция рас­тво­ра равна . Пусть объем по­лу­чив­ше­го­ся рас­тво­ра лит­ров. Таким об­ра­зом, кон­цен­тра­ция по­лу­чен­но­го рас­тво­ра равна:

 

                                                                 Ответ: 17.

5) Ви­но­град со­дер­жит 90% влаги, а изюм — 5%. Сколь­ко ки­ло­грам­мов ви­но­гра­да тре­бу­ет­ся для по­лу­че­ния 20 ки­ло­грам­мов изюма?

Ре­ше­ние.  Ви­но­град со­дер­жит 10% пи­та­тель­но­го ве­ще­ства, а изюм — 95%. По­это­му 20 кг изюма со­дер­жат кг пи­та­тель­но­го ве­ще­ства. Таким об­ра­зом, для по­лу­че­ния 20 ки­ло­грам­мов изюма тре­бу­ет­ся кг ви­но­гра­да.                                                                        Ответ: 190.

 

6) Сме­шав 30-про­цент­ный и 60-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вив 10 кг чи­стой воды, по­лу­чи­ли 36-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли 10 кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты. Сколь­ко ки­ло­грам­мов 30-про­цент­но­го рас­тво­ра ис­поль­зо­ва­ли для по­лу­че­ния смеси?

Ре­ше­ние. Пусть масса 30-про­цент­но­го рас­тво­ра кис­ло­ты – кг, а масса 60-про­цент­но­го – . Если сме­шать 30-про­цент­ный и 60-про­цент­ный рас­тво­ры кис­ло­ты и до­ба­вить кг чи­стой воды, по­лу­чит­ся 36-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: . Если бы вме­сто 10 кг воды до­ба­ви­ли кг 50-про­цент­но­го рас­тво­ра той же кис­ло­ты, то по­лу­чи­ли бы 41-про­цент­ный рас­твор кис­ло­ты: . Решим по­лу­чен­ную си­сте­му урав­не­ний:

Ответ: 60.