Расчет размерных цепей вероятностным методом

    Этот метод основан на использовании законов сложения случайных величин, которые хорошо разработаны в теории вероятности и математической статистике.

    В частности, совпадение таких событий, как попадание в одно изделие наибольших предельных размеров увеличивающих звеньев и одновременно всех наименьших предельных размеров уменьшающих звеньев, маловероятно. Если, например, предположить, что вероятность появления размеров в область, примыкающую к предельному размер, шириной 0.IT, равна 0,01 (1 %), то вероятность попадания на сборку двух деталей с такими размерами будет равна  , т. е. одни случай к десяти тысячам. Для трёх деталей это уже будет один случай на миллион.

    Если случайные величины независимы, то дисперсия суммы величин равна сумме дисперсий этих величин.

    Для среднего квадратического отклонения замыкающего звена  справедлива формула:

где  – среднее квадратическое отклонение составляющего звена.

    Принимая распределение размеров по нормальному закону, и допуская возможность появления брака с вероятность 0,27%, устанавливают допуск T=6σ.

    Диапазон рассеивания замыкающего размера с доверительной вероятностью 99,73%, который мы примем за допуск, определяют по формуле.

    При решении проверочной задачи  вероятностным методом предельные отклонения замыкающего звена определяют только через среднее отклонение по формулам (10) и (13), в которых значение  рассчитывать по формуле (21).

При решении проектной задачи вероятностным методом применяют способ равных допусков и способ равноточных допусков (способ одного квалитета).

    При способе равных допусков допуски составляющих звеньев находят по следующей формуле:

    При способе равноточных допусков определяют средний коэффициент точности a_m:

Отклонения назначают таким образом, чтобы удовлетворить уравнение (10).

Пример 2.

а б

Рисунок 6. Чертеж вала (а) и схемы размерных цепей (б).

На чертеже вала (рис. 6, а) указаны размеры: , , , . Последовательность обработки размеров: . Определить номинальный размер и предельное отклонение размера . Решение выполнить методом полной взаимозаменяемости и вероятностным методом и сравнить полученные результаты.

Решение. Построим размерную цепь – замкнутый контур (рис. 2, б) в последовательности, указанной в задаче. При этом цепь окажется разомкнутой: в ней недостает размера А ₄, который получен последним при обработке, следовательно, размер А ₄ будет замыкающим звеном: А ₄= А ₀. Проведем анализ составляющих звеньев: А ₁– увеличивающее звено, т. к. при его увеличении А ₀ увеличивается; А ₂, А ₃ , А ₅ – уменьшающие звенья, т.к. при увеличении каждого из них А ₀   уменьшается.

     Условия задачи относится к проверочной задаче, т.к. известны номинальные размеры, допускам и предельным отклонениям составляющих звеньев размерной цепи, необходимо определить номинальный размер, допуск и предельные отклонения замыкающего звена.

    Проведем расчеты методом полной взаимозаменяемости.

По формуле (3) найдем номинальный размер замыкающего звена А ₀:

А ₀ = А _{1 ув} – А _{2 ум} – А _{3 ум} – А _{5 ум} = 80 – 10 – 20 – 10 = 40 мм.

По формулам (7) и (8) определим верхнее и нижнее предельные отклонения замыкающего звена А ₀:

Es (А ₀)= Es (А ₁) _ув – Ei А ₂) _ум – Ei (A ₃) _ум – Ei (A ₅) _ум = 0 – 0 – 0 – 0=0,

Ei (A₀) = Ei(A₁) _ув – Es(A₂) _ум – E i (A₃) _ум – Es(A₅) _ум = –46 – 22 – 33 – 22 = – 123 мкм.

Определим допуск замыкающего размера А₀ по формуле (15):

    Проверим допуск замыкающего звена А ₀ по формуле (12):

ТА ₀ = ТА ₁ + ТА ₂ + ТА ₃ +ТА ₄ +ТА ₅ = 46+22+33+22 = 123 мкм.

Допуски замыкающего звена А ₀поформуле (15) и по формуле (12) совпадают.

Проведем расчеты вероятностным методом.

Определяем допуск замыкающего звена А ₀ по формуле (21).

    Определяем средние отклонения составляющих звеньев по формуле (9).

    Рассчитываем среднее отклонение замыкающего звена А ₀

по формуле (10):

           Определим предельные отклонения замыкающего размера А ₀ по формуле (13)

Вывод. Вероятностный метод позволяет получить более узкий допуск замыкающего звена по сравнению с методом полной взаимозаменяемости.

 

Пример 3.

                             Рисунок 7. Чертеж втулки.

Определить номинальный диаметр d и его предельные отклонения,

если известны

    Решение.

Последовательность обработки не дана, необходимо  самим определить эту последовательность. Т.к. диаметр D является базой А,  то он обрабатывается в первую очередь. Для диаметра d предъявляется требование по соосности:допуск соосности осидиаметра dотносительно оси базового диаметра D равен 0.01мм в радиусном выражении.

Рисунок 8. Размерная цепь втулки.

Следовательно, во вторую очередь  обрабатывается диаметр d с соблюдением требования соосности. Обозначаем допуск соосности в радиусном выражении через эксцентриситет e. Размер толщина втулки t получается последним.

 Получили последовательность обработки: D – d – e.

Звено – увеличивающее звено, – звенья уменьшающие. Звено t является замыкающим звеном: .

Звено евводится в размерную цепь с номинальным размером  равным 0 и симметричными отклонениями ±0.01мм. Это звено может быть увеличивающим или уменьшающим безразлично, т.к. оно в таком представлении одинаково влияет на результат расчета.

 Представляем  в следующем виде: , .

Определение номинального размера увеличивающего звена d по формуле (3):

,вместо стрелок поставить ув. и ум.

,

мм, d = 100 мм.

По формуле (7) определяем верхнее предельное отклонение для d:

,вместо стрелок поставить ув. и ум.

,

мм,поставить +0,03

По формуле (8) определяем нижнее предельное отклонение для d:

 

,вместо стрелок поставить ув. и ум.

,

,

.

    Ответ: .