Задание 6. Интегрирование тригонометрических выражений.

Пусть — рациональная функция своих аргументов.

1) Интегралы вида , где m и n - целые числа.

Рассмотрим два случая:

а) Среди чисел m, n есть хотя бы одно нечетное. Тогда отделяем от нечетной степени один сомножитель и выражаем с помощью формулы  оставшуюся функцию в четной степени. Вводим новую переменную и приходим к табличному интегралу.

Пример. .

Решение.

.

 

б) Оба числа m, n- четные неотрицательные.

Применим формулы:

.

Пример. .

Решение.

.

 

2) Интегралы вида , где  и  входят в подынтегральную рациональную функцию, только в четных степенях.

Делается замена: .

При этом .

Пример. .

Решение.

.

 

3) Интегралы вида , где  и  входят в подынтегральную рациональную функцию в нечетных степенях.

Делается универсальная тригонометрическая подстановка: . В результате сводится к интегралу от рациональной дроби.

При этом .

 

Пример. .

Решение.

.

Приводим к общему знаменателю подынтегральную функцию. А поскольку дроби равны и их знаменатели равны, то равны и числители:

.

Два многочлена равны, когда равны коэффициенты при соответствующих степенях:

.

Получаем:

.