Модификация метода, компоненты скорости и функции. Теорема

4.4. Модификация метода (4.2), когда  

Рассмотрим разновидность основного метода (4.2) по пункту 4.1, когда начальные компоненты скорости и функции  удовлетворяют условиям

(4.36)

Тогда функции  представимы ​​в виде 

                                   (4.37)

Теперь, используя формулы (4.36), (4.37) и 

                    (4.38)

из уравнений Навье-Стокса (1.1) получим эквивалентную систему

                   (4.39)

Далее, из системы (4.39) с учетом условий (4.36) – (4.38), применяя алгоритм АПС, имеем уравнение  

             (4.40)

так как при математических преобразованиях системы (4.39) соблюдаются условия

Следовательно, система (4.39) на основе (4.40) эквивалентно преобразуется к виду

           (4.41)

Но, теперь, из (4.41) следует

  (4.42)

где

В таком виде система (4.42) содержит неизвестные функции и состоит из четырех интегральных уравнений Вольтерра-Абеля второго рода по переменной .

Итак, пусть относительно известных данных предполагаются выполненными условия  

(4.43)

и

 (4.44)

Тогда на основании (4.31) – (4.33) существует единственное решение системы (4.42), которое определяется по методу Пикара. Значит, относительно последовательности функций  допускаются все выводы метода Пикара (4.31), указанные в предыдущих пунктах. Поэтому последовательность функций  сходится к пределу   

                                           (4.45)

Из полученных результатов следует, что задача Навье-Стокса (1.1) – (1.3) в случае (4.36), (4.37) и (4.45) с достаточно гладкими начальными данными имеет условно-гладкое единственное решение в , так как  Поэтому результаты формулируются следующей теоремой. 

Теорема 5. Задача Навье-Стокса при условиях (1.2), (1.3), (4.36), (4.37) и (4.45) имеет условно-гладкое единственное решение в .   

Замечание 5. Алгоритм (4.37) применим, как в случае равенства, так и неравенства, т.е. когда .  В самом деле, если

                             (4.46) 

то на основе (4.39) – (4.41) имеем

т.е. получили выражение (4.42) следующего вида

                                                    (4.42)*

Поскольку справедливо (4.44), то решение системы (4.42)* можем найти по методу Пикара, при этом на основании (4.31) – (4.33) имеем сходимость по формуле (4.45). Значит, как и с аналогичными результатами теоремы 5, задача Навье-Стокса при условиях (1.2), (1.3), (4.45), (4.46) имеет единственное решение в .