Вопрос 23. Неоднородные СЛОДУ с постоянными коэффициентами.

ДОКАЗАТЬ

Метод неопределенных коэффициентов.

Теор. Если ,

то

неизвестная функция

(1) Называется ЛОДУ ВП, его коэффициенты

Будем считать, что непрерывны на рассмотренном интервале

Если то ЛОДУ ВП называется однородным, в противном случае – неоднородным (противоположный случай, когда f хотя бы в одной точке отлична от 0)

Опр.  называется частным решением (1), если  и при подстановке в (1) обращает его в тождество

Опр. Совокупность всевозможных частных решений образует общее решение уравнения (1). Сведем (1) к нормальной системе

Пусть

Тогда (2)

Всякое решение (1) будет решением (2) и наоборот. Поэтому (1) эквивалентна системе (2) и соответственно его общее решение содержат и произвольных постоянных. Пусть произвольный набор чисел ЗК для (1) формулируется следующим образом: найти решение уравнения (1), удовлетворяющее дополнительным условиям (3)  

В данном случае , Из связи ЗК (2) (3) с ЗК для СЛОДУ с непрерывными коэффициентами  и  получаем:

Теор. (ТСЕ)

Если , то для  набора  на всем решение ЗК (1), (2) теорема носит глобальный характер

Вопрос 25

Опр. Функции  называются ЛЗ на , если существуют вещественные числа, не все равнее нулю, такие, что при всех . В противном случае функции  называются ЛНЗ на

Утв. Любые (n+1) решений уравнения (1) ЛЗ на

      Док-во: Пусть решения уравнения (1) на  Составим их линейную комбинацию и приравняем ее к нулю . Последовательно дифференцируем это равенство (n-1) раз. В результате получим следующую систему n уравнений Зафиксируем  в этой системе уравнений. Относительно переменных  это однородная система линейных алгебраических уравнений, у которой число уравнений (n) меньше числа неизвестных (n+1), поэтому она имеет бесконечное множество нетривиальных решений. Пусть одно из них. Рассмотрим функцию . Эта функция является решением уравнения (1). Кроме того, . Покажем, что они ЛНЗ.  Последовательно дифференцируем это равенство n-1 раз . Положим . С учетом начальных условий (2) получаем  Отсюда