Экстремум функции многих переменных

Вычисление экстремума функции многих переменных не несет принципиальных особенностей по сравнению с функциями одной переменной.

Задание 15. Найдите экстремум функции двух переменных:

f(x,y)=2· (x-5.07)²+(y-10.03)²-0.2·(x-5.07)³,

выполнив следующие операции:

1. Самостоятельно нарисуйте поверхностный и контурный графики исследуемой функции (рис. 33) и найдите на графиках экстремум функции.

2. С помощью операции присваивания определите функцию и начальные значения аргументов:

3. Запишите вычислительный блок для определения минимума функции:

4. Получите минимальное значение функции при рассчитанных значений аргументов:

 

Рис. 34. Поверхностный и контурный графики функции f(x,y)

Линейное программирование

Задача поиска условного экстремума функции многих переменных часто встречается в экономических расчетах для минимизации издержек, финансовых рисков, максимизации прибыли и т.п. Целый класс экономических задач описывается системами линейных уравнений и неравенств. Они называются задачами линейного программирования. К задачам линейного программирования относится так называемая транспортная задача, которая решает одну из проблем оптимальной организации доставки товара потребителям с точки зрения минимизации затрат не перевозки.

Модель типичной транспортной задачи: пусть имеется N предприятий-производителей, выпускающих продукцию в количестве b₀,…,b_N-1 тонн. Эту продукцию требуется доставить M потребителям в количестве a₀,…,a_M-1 тонн каждому. При этом затраты на перевозки должны быть минимальными.

Здание 16. Используя предложенную модель, получите решение транспортной задачи, выполнив следующую последовательность операций:

1. Откройте новый документ.

2. Введите численное значение векторов a и b, например:

3. Для корректного использования возможностей программы MathCAD необходимо определить в документе число элементов, входящий в эти векторы. Для этого можно применить соответствующие встроенные функции:

4. Сумма всех заказов потребителей должна быть равна сумме произведенной продукции. Проведите эту проверку:

5. Пусть стоимость перевозки тонны продукции i-го производителя к j-му потребителю c_ij задается следующей матрицей:

6. Тогда целевая функция, определяющая транспортные расходы будет иметь вид:

Здесь x_i,j – количество продукции i-го производителя, поставляемое j-му потребителю.

7. Введем требования по точности вычислений и начальные значения:

8. Затем внутри блока Given следует записать условия, выражающие неотрицательность товаропотока, и равенства, задающие сумму произведенной каждым предприятием продукции и сумму заказов каждого потребителя:

9. Для получения решения следует использовать встроенную функцию:

Эта матрица фактически представляет собой план перевозок, обеспечивающий минимум целевой функции: