Комплексные числа и действия над ними

где х и у – действительные числа,

если х = 0, то число i у – чисто мнимое,

если у = 0, то число отождествляется с действительным числом.

– сопряженные числа

(отличаются знаком мнимых частей).

На плоскости зададим прямоугольную декартову систему координат.

Комплексному числу z = х + i у ставим в соответствие точку М этой плоскости с координатами (х, у), вследствие этого:

Ох - действительная ось,

Оу - мнимая ось.

Всякое комплексное число z = х + i у можно изображать радиус-вектором .

модуль комплексного числа:

r =│z│= (длина вектора)

аргумент комплексного числа:

Arg z = φ = (уголрадиус-вектора)

Аргумент комплексного числа z = 0 не определен.

Аргумент комплексного числа z ≠ 0 величина многозначная и определяется с точностью до слагаемого 2πκ, где κ – целое число.

Главное значение аргумента заключено в промежутке (-π, π].

z = re^{i φ}.

ПРИМЕР.Записать число z = -1 + i в тригонометрической и показательной формах.

РЕШЕНИЕ.

1) Найдем модуль к.ч.: имеем х = -1, у = 1,

тогда .

2) Найдем аргумент к.ч.:

φ = , т.к. вектор во 2-ой четверти.

3) Тригонометрическая форма

z = - 1 + i =

4) Показательная форма- 1 + i = .

3) Действие нахождения неопределенного интеграла (первообразной) называется интегрированием (это действие обратное дифференцированию).

4) Геометрически неопределенный интеграл представляет собой семейство (множество) «параллельных кривых»

у =F(x)+ С.

График каждой первообразной называется интегральной кривой.

5) Функция f(x), имеющая неопределенный интеграл, называется интегрируемой.

Теорема. Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.

9.2 Свойства неопределенного интеграла

Таблица основных неопределенных интегралов

За переменную интегрирования в таблице принимаем u.

Обозначим: С – постоянное число,

а, п – натуральные числа.

 

	= и + С
	= , п ≠ – 1
	=
	=
	= еи + С
	= sin u + C
	= cos u + C
	= –
	=
	= tg u + C
	= – ctg u +C
	= arcsin u + C
	=
	=
	=
	=
	=
	=
	=

 

9.4 МЕТОДЫ ИНТЕГРИРОВАНИЯ

Табличное интегрирование

Чтобы приступить к действию интегрирования, необходимо наизусть знать

таблицу производных и интегралов.

Примеры: 1) ;

2) ;

3) .

Метод подстановки

Метод подстановки, или замена переменной в неопределенном интеграле состоит в том, чтобы в подынтегральной функции ввести новую переменную с целью привести исходный интеграл к табличному варианту.

Примеры:

1) ; 2) ; 3) ;

3) ; 4) ; 5) .

Интегрирование по частям

Интегрирование по частям состоит в том, что подынтегральное выражение представляется каким-либо образом в виде произведения двух сомножителей u и dv, затем после нахождения du и v используется формула интегрирования по частям:

Пример 1. Найти =

= .

При выборе обозначения сомножителей обычно за dv выбирают сомножитель, который легко интегрировать, оставшиеся сомножители обозначают за u.

Укажем некоторые типы интегралов, которые удобно вычислять методом интегрирования по частям.

Пусть Р(х) – многочлен, k – число.

1) В интегралах вида:

обозначим:

за u = P(x), за dv - остальные множители.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ДЕЙСТВИЯ НАД НИМИ