Формула для плотностей. Условное распределение. Байесовское оценивание дисперсии нормального закона.

Теория:

Практика в R:

library("LearnBayes")

d <- (footballscores$favorite - footballscores$underdog) - footballscores$spread #наблюд. величина - прогноз

d.sd <- sd(d) #нашли реальное значение среднекв. отклонения

#hist(d)

#curve(dnorm(x,sd=d.sd), add=TRUE) #Должно работать, но нет

p = rchisq(1000,length(d))/sum(d^2)

s = sqrt(1/p) #оценка среднеквад. отклонения с помощью байессовского метода

mean(s)

[1] 13.87063

 

Односторонние и двухсторонние доверительные интервалы для случайной величины. Построение доверительных интервалов с помощью квантилей. Процедура построения в пакете R.

Теория:

Постановка задачи

Пусть случайная величина Х имеет функцию распределения .

Односторонние интервалы: ­– левый; ­– правый.

Двусторонний интервал: .

Доверительная вероятность: .

Задача: по заданной доверительной вероятности требуется вычислить .

Решение этой задачи находится через квантили распределения.

Квантиль распределения:

– неявное уравнение. Требуется найти – квантиль уровня .

Решение для односторонних интервалов

:

:

Решение для двусторонних интервалов

Практика:

q<имя распределения>(x) – поиск квантиля уровня x для конкретного распределения qnorm(x), qexp(x), …

Пример

, -фикс.

gm <- 0.9

f <- function(a) {

qnorm(gm + a, 0, 1) – qnorm(a, 0, 1)

}

curve(f, 0, 1 - gm)

 

Пусть

2*qnorm(0.95,0,1) # = 3.289707 – минимум функции на графике выше

Простые и сложные гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Критерий согласия Колмогорова – Смирнова. Применение с критерия в пакете R.

Теория:

Гипотезы

– нулевая гипотеза

– альтернативная гипотеза

Простая гипотеза – гипотеза, которой удовлетворяет только одно распределение вероятности

Сложная гипотеза – несколько распределений

Критерий согласия Колмогорова-Смирнова

– эмпирическая функция распределения

– статистика Колмогорова-Смирнова

Независимо от , закон распределения такой, как если бы все имели бы равномерный на закон распределения.

Если малые, то .

Если большие, то .

– критическая область.

– вероятность ошибки 1го рода (уровень значимости критерия).

– квантиль уровня

– p-значение (p-value).

Практика:

Пример 1

Угадывание результатов подбрасывания монетки (10 бросков).

– угадываем

– предсказываем

Множество возможных раз угаданных результатов:

Пусть – критическая область.

При попадании в критическую область отвергаем нулевую гипотезу. С помощью критической области можем управлять вероятностью ошибки.

Вероятность ошибки 1го рода:

sum(dbinom(7:10,10,0.5)) или 1 - pbinom(6.9,10,0.5)

 

:

:

В данном примере ошибку 2го рода невозможно вычислить, так как (то есть не знаем точно значения)

Пример 2

– н.о.р. сл. вел. с равномерным на (0, 1) распределением.

На основании центральной предельной теоремы .

x <- replicate(100, sum(runif(12)) - 6)

qqnorm(x)

Проверка равномерности датчиков случайных чисел с помощью критерия Колмогорова-Смирнова:

ks.test(runif(100), punif, alternative = )

Вывод: D = 0.06008, p-value = 0.8642