Решим уравнение методом последовательных приближений.

В нулевом приближении данные уравнения записываются относительно радиуса и положения центра пузырьков.

Подставляя выражения, находим уравнения нулевого приближения:

В первом приближении уравнения записываются относительно радиуса, положения центра пузырьков, скорость изменения радиусов и положения центра пузырьков. Полученное первое приближение добавляем к нулевому приближению. И так находим до пятого приближения.

Исходя из этого, можем записать следующую систему:

Полученные дифференциальные уравнения решаются методом Дортсмана–Принса восьмой степени точности. (Программа приведена ниже).

 

Исследование взаимодействия двух радиально пульсирующих пузырьков газа в жидкости

Для учета влияния вязкости и сжимаемости жидкости проводим следующую модификацию математической модели. (По аналогии с работой Дойникова[?]).

1. С учетом сжимаемости жидкости получим следующие уравнения:

;

;

 

Решение для нулевого приближения для одного пузырька

;

Вводим замены:

;        ;    ;;

=  = ;

- начальное давление газа в пузырьке;

; -давление газа в пузырьке.

А - константа Ван-дер-Ваальса;

- коэффициент поверхностного натяжения;

 - давление газа в пузырьке;

 - статическое давление в жидкости;

- Начальный радиус пузырька;

R - Радиус пузырька;

 - Центр пузырька;

u - Вектор скорости жидкости;

-давление в жидкости на большом удалении от пузырька, где

- амплитуда и частота колебаний давления. Рассматривается лишь один период колебаний ().

- Плотность жидкости;

- Скорость звука в жидкости;

- Кинематический коэффициент вязкости

 - расстояние между пузырьками.

 

;

;

Обозначим слагаемые и сомножители через: , , , , :

; ; ;

; ;

;

 ;

Добавляем второе уравнение: =0 =>

;

;

 

Добавляем уравнение второго пузырька

;

; ; ; =  = ;

 

;

;

; ; ;

; ;

;

;

Добавляем второе уравнение: =0 =>

;

;

 

Решение для первого приближения одного пузырька

 

;

;

;

;

( );

;

 

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

 

Решение для второго приближения одного пузырька

 

;

/

;

;

( );

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

 

;

;

;

Решение для третьего приближения одного пузырька

 

;

)/

;

;

;

;

;

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

 

;

;

;

;

;

 

Решение для четвертого приближения одного пузырька

 

;

)/

;

;

;

;

;

;

;

;

;

 

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

 

;

;

;

;

;

 

Решение для пятого приближения одного пузырька

 

;

)/

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

;

Добавляем уравнение второго пузырька

;

;

;

;

;

 

;

;

;

;

;

 

2. Для исследования добавляем вязкость и решаем уравнение:

;

;

где , (j = 1, i = 2);

 - Кинематический коэффициент вязкости;

,

, , ,

 

Вводим замену, чтобы избавится от второго порядка, и запишем уравнения 1 ого порядка:

                                  

Для первого уравнения:

;

= ;

 

;

;

;

0;

;

;

;

;

Для второго уравнения:

;

= ;

;

;

;

0;

;

;

;

;

 

 

Рис.1. Изменение радиуса пузырька и положения его центра во времени.