Тогда данное уравнение и начальные условия примут вид

х ′′ (τ) + х ′ (τ) = τ + 1, х (0) = 1 ,   х ′ (0) = 0 ,     (*)

так как значению t = 1  отвечает значение  τ = 0.

Пусть х (τ)     ≓ Х (p), тогда операторное уравнение для уравнения (*) запишется в виде:

р² Х (p) – р + р Х (p) - 1  = .

Решая его относительно Х (p), найдем:  Х (p) = .   Следовательно, х (τ) =  . Заменив   τ на t - 1, получим искомое решение задачи Коши:  х (t) =   .

           Пример 6.5. Найти общий интеграл дифференциального уравнения   x ′′ + 2   x ′ + 10   x = 2 е ^{- t} cos 3 t.                                                             

           Решение. Для получения общего интеграла возьмем произвольные начальные условия

     х (0) = с ₀и х' (0) = с _1.

Перейдем к уравнению в изображениях:

  р² Х (p) – с ₀ р - с ₁ + 2 р Х (p) -2 с ₀  + 10 Х (p) = ,

откуда

Выполнив обращение, получим искомое решение

           х(t) = e ^{- t} [ c ₀ cos 3 t + (t + c ₁) sin 3 t ],

  где c ₁ = c ₀ + c ₁  -  новая произвольная постоянная.

Пример. 6.6. Найти решение уравнения      x ′ + 3   x = f (t),

удовлетворяющее условию х (0) = 0,если

                                              

Решение. Пусть x (t)   ≓ Х (p). Используя теорему запаздывания, представим    функцию f (t) в следующем виде:

      f (t) = 4 η (t) – 4 η (t -3).

Переходим к уравнению в изображениях:

  р Х (p) +3 Х (p) =   Находим операторное решение заданного уравнения:    .

Так как      ≒   ,

то выполнив обращение (применив теорему запаздывания), получим искомое решение:

          

6.2. Р е ш е н и е з а д а ч и К о ш и д л я с и с т е м 

 у р а в н е н и й

 

Решение систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами операционным методом производится по той же схеме, что и решение одного дифференциального уравнения.

Рассмотрим для простоты систему дифференциальных уравнений второго порядка. (Общий случай решения задачи Коши для системы п –ого порядка принципиально ничем не отличается от случая п = 2).

 ,                                              (6.6)

где а ₁, a ₂, b ₁, b ₂  = const. Требуется найти решение системы (6.6), удовлетворяющее начальным условиям:                     

     х (0) = x ₀и y (0) = y ₀, где x ₀, y ₀     - заданные числа.

 .  Будем предполагать, что искомые функции x (t) и y (t), все рассматриваемые производные, а также функции f ₁ (t) и f ₂ (t)  являются оригиналами. 

Обозначим: x (t) ≓  Х (p); y (t) ≓ Y (p); f ₁ (t) ≓ F ₁ (p)  и      f ₂ (t) ≓ F ₂ (p). 

Преобразуем по Лапласу каждое из уравнений заданной системы – перейдем к операторной системе:

           ,                            (6.7)

Решая (6.7) как линейную алгебраическую систему относительно Х(p) и Y (p), найдем Х(p) и Y (p), а затем, выполнив обращение, и искомые функции x (t) и y (t).

Пример. 6.7. Решить задачу Коши:

, x (0) = у (0)= 1.

Решение. Пусть x (t) ≓ Х (p) и у(t)    ≓ У(p). Перейдем от оригиналов к изображениям:

.

Разрешая полученную систему относительно Х (p) и  У(p),   найдем операторное решение заданной системы:

 Х (p) = , У (p) = .

Восстановим оригиналы для Х (p) и У (p) - получим искомое решение: x (t) = , y (t)= ch 5 t + sh 5 t.

Пример. 6.8. Решить систему уравнений:       ,  

х (0) = х' (0) = 0, y (0) = 0, y ' (0) = -1, z (0) = 1,    z ' (0) = 0.

Решение. Обозначим: x (t) ≓ Х (p), у(t)   ≓ У(p)  и z (t) ≓ Z (p) и перейдем к операторной системе:

           ,

Из полученной системы находим операторное решение системы:

Х (p) = , У(p) = - , Z (p)= .

Выполнив обращение, получим искомое решение системы:

   , z (t)= с os t,

.

          

7. Применение интеграла Дюамеля для решения обыкновенных линейных диффе­ренциальных уравнений с постоянными коэффициентами

 

При исследовании систем автоматического управления часто возникает задача интегрирования нескольких линейных дифференциальных уравнений с одинаковыми левыми и различными правыми частями. В этом случае применение интеграла Дюамеля для интегрирования дифференциальных уравнений особенно выгодно: значительно сокращается объем вычислительной работы.

Итак, пусть имеется линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами (для простоты рассмотрим уравнение второго порядка)

        

   x '' + a ₁ x ' + a ₂ x = f(t),                                                (7.1)

где a ₁   , a ₂  = const.   Будем предполагать, что искомая функция x (t), все ее рассматриваемые производные, а также функция f (t) являются оригиналами. 

Требуется найти решение уравнения (7.1), удовлетворяющее начальным условиям: х (0) = х ₁ и   х' (0) = х ₂, где х₁  и    х ₂  – заданные числа.

           При решении поставленной задачи с помощью интеграла Дюамеля различают д в а с л у ч а я н а ч а л ь н ы х у с л о в и й:   

 нулевые начальные условия (х₁= х₂ = 0) и когда хотя бы одно из чисел - х ₁ или    х ₂, не равно   нулю.

           П е р в ы й с л у ч а й: заданы н у л е в ы е начальные условия:      х (0) = х' (0) = 0.

При таких начальных условиях поступают следующим образом.

1.Записывают вспомогательное уравнение, левая часть которого совпадает с левой частью данного уравнения (7.1), а в правой части – единичная функция Хевисайда η (t):

z'' + a ₁ z' + a ₂ z = η (t).                                               (7.2)

2. Операционным методом находят его частное решение z (t), удовлетворяющее н у л е в ы м начальным условия

z (0) = z ' (0) = 0.

3. Записывают с помощью интеграла Дюамеля по формуле (7.3) или (7.4) в виде квадратуры искомое решение x (t)  задачи Коши:

x (t) = ,                                          (7.3)

                x (t) =  f (0) z (t) + .                       (7.4)

В т о р о й с л у ч а й: заданы н е н у л е в ы е начальные условия: 

 х (0) = x ₀    и х' (0) = х₁ , 

причем хотя бы одно из чисел- x ₀или   х ₁, не равно нулю.

В этом случае н е о б х о д и м о сделать замену искомой функции x (t) таким образом, чтобы задача     свелась к задаче с нулевыми начальными условиями (к случаю 1).  

Например (см. также пример 7.2), пусть требуется найти решение дифференциального уравнения (7.1)        

           x '' + a ₁ x ' + a ₂ x = f (t),                      

удовлетворяющее ненулевым начальным условиям:                      

                      х (0) = x ₀и х' (0) = х _{1  .}

Положим

           y (t) = x (t) - x ₀ - х ₁ t.                                             (7.5)

Тогда            y′ (t) = x′ (t) - х ₁,       y′′ (t) = x′′ (t),