Изменение площади поперечного сечения канала по направлению движения газа

Площадь поперечного сечения канала выражается формулой . Т.к. , то  меняется по каналу лишь в зависимости от отношения . Если по каналу течёт несжимаемая жидкость (), то формула показывает, что с увеличением скорости канал необходимо сужать (рис. 5.5). Для течения газа такого вывода сделать нельзя. Газ при ускоренном движении расширяется, т.е. растут одновременно его удельный объём и скорость. Если скорость газа растёт быстрее, чем удельный объём, то согласно данной формуле площадь поперечного сечения канала должна уменьшаться в направлении движения газа, т.е. канал должен сужаться. Если же  растёт быстрее , то, учитывая постоянство расхода,  должна увеличиваться в направлении движения газа, т.е. канал должен расширяться.

Рис. 5.5.                                                                    Рис. 5.6.

Как меняется отношение  вдоль канала при увеличении ? Исследуем зависимость скорости от удельного объёма (рис.5.6). Из неё следует, что отношение . Если двигаться по кривой , начиная от  и до , то угол  меняется сначала от нуля (точка с координатами , 0) до некоторого максимального значения  (точка K с координатами ), затем от  до 0 (точка с координатами ). Тогда  меняется сначала от бесконечности до некого минимального значения, затем от этого минимума до бесконечности. Поскольку , то и  меняется в тех же пределах при изменении удельного объёма от  до . Учитывая, что , можно сказать следующее:

1. При изменении  от 0 до , что соответствует изменению  от  до , а  от 0 до , площадь поперечного сечения канала  уменьшается до некоторой минимальной величины .

2. При изменении  от  до 0, что соответствует изменению  от  до , а  от  до , площадь поперечного сечения канала  увеличивается.

На рис.5.7 показан профиль такого канала. Скорость  в минимальном сечении называется критической скоростью. Как её выразить через параметры газа? Точка K обладает тем свойством, что касательная к кривой  в этой точке совпадает с прямой, проведённой из начала координат (другие точки этим свойством не обладают). Математически это значит, что тангенсы углов наклона касательной к кривой и прямой, проведённой из начала координат, в точке K равны. Тангенс угла наклона рассматриваемой прямой равен , а тангенс наклона касательной в первом приближении равен , т.е. Чему равна величина ? Согласно формуле , где , получим  Но располагаемая работа  в  раз больше работы расширения; учитывая, что , получим  Следовательно

Рис. 5.7.

Таким образом,

Из физики известно, что выражение  где  – скорость распространения звука при данных параметрах газа. Следовательно, полученная формула примет вид

Вывод. В минимальном сечении канала (при достаточном перепаде давлений) скорость течения газа равна скорости распространения звука в этом же сечении, т.е. равна местной скорости звука.

Определим перепад давлений, необходимый для того, чтобы скорость течения газа достигла скорости звука в данном сечении. Для этого воспользуемся формулой

Полагая в ней  и , получим

Поскольку , имеем

А поскольку  и , то

Деля обе части этого выражения на , получим

Следовательно,

Подставляя значение  в формулу

При = 1,4 будем иметь 0,528 или . Следовательно, для того, чтобы скорость газа в минимальном сечении сопла была равна скорости звука, давление в камере должно быть в два раза больше давления окружающей среды.

Выразим критическую скорость через начальные параметры газа. Подставляя в формулу  значение , получим Заметим, что с ростом скорости течения газа по каналу местная скорость звука убывает (рис. 5.8) – с ростом  температура газа  уменьшается, тогда и скорость звука будет уменьшаться (). Как меняется секундный расход газа при увеличении перепада давлений? При отсутствии перепада давлений () секундный расход газа  равен нулю. В зависимости от перепада давлений устанавливается определённый, соответствующий этому перепаду, расход газа, постоянный во всех сечениях, в том числе в минимальном (рис.5.9). Увеличение расхода		Рис. 5.8
газа с увеличением перепада давлений продолжается до тех пор, пока в минимальном сечении не установится критическое давление; при дальнейшем увеличении перепада отношение в минимальном сечении остаётся постоянным, и секундный расход газа в этом сечении не меняется. Поскольку	Рис. 5.9.

то и в любом сечении канала расход газа остаётся прежним и при дальнейшем увеличении перепада давлений не будет увеличиваться выше максимально возможного, соответствующего критическому перепаду (рис.5.9). Результатом этих рассуждений будут следующие выводы:

1. Секундный расход газа растёт с увеличением перепада давлений, достигая максимума при перепаде давлений, равном критическому отношению давлений.

2. При дальнейшем увеличении перепада давлений секундный расход газа остаётся постоянным, равным максимальному расходу.