Рассмотрим свойства определённого интеграла.

Урок-лекция

Задание: изучить материал и ответить на контрольные вопросы.

Тема: «Понятие криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница».

Цель урока:

ввести понятие определенного интеграла, криволинейной трапеции, рассмотреть свойства определённого интеграла и формулу Ньютона-Лейбница.

 

Ход урока.

1.  Изучение нового материала

Рассмотрим фигуру изображенную на рис.1. Снизу фигура ограничена осью абсцисс, с боков прямыми х=а и х=b, а сверху графиком функции f непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Рассмотрим задачу.

Задача 1. В декартовой прямоугольной системе координат хОу дана фигура, ограниченная осью х, прямыми х = а, х = b (а < b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а;b] функции у=f(x). Требуется вычислить площадь этой фигуры.

Найдем, используя геометрические соображения, приближенное значение площади. Для этого разобьем отрезок [а;b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей с помощью точек , …, , ,…, . Проведем соответствующие ординаты. Криволинейная трапеция разбилась на n частей – на n узеньких столбиков. Площадь трапеции будет равна сумме площадей столбиков.

Рассмотрим отдельно k-тый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [ ; ]. Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(). Площадь прямоугольника равна , где -длина отрезка [ ; ]. Мы получили приближенное значение площади k-го столбика.

Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади  ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (рис.2):

Считаем, что ,  .Приближенное равенство  тем точнее, чем больше n.

Принято считать, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (): .

Можно доказать, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции у= f(х) по отрезку [а; b] и обозначают так: ;

читают: интеграл от а до b эф от икс дэ икс. Числа а и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним)

Вернемся к задаче и запишем: S= ;

здесь S – площадь криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Масса неоднородного стержня с плотностью p(x) вычисляется по формуле   m= . В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

Перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v(t), за промежуток времени от t=а до t=b, вычисляется по формуле  s= .  Это еще одно физическое истолкование определенного интеграла. Для вычисления определённого интеграла воспользуемся теоремой.

Теорема. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула , где F(x) – первообразная для f(x).

Эту формулу называют формулой Ньютона – Лейбница.

Урок-лекция

Задание: изучить материал и ответить на контрольные вопросы.

Тема: «Понятие криволинейной трапеции. Площадь криволинейной трапеции. Понятие определенного интеграла. Свойства определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница».

Цель урока:

ввести понятие определенного интеграла, криволинейной трапеции, рассмотреть свойства определённого интеграла и формулу Ньютона-Лейбница.

 

Ход урока.

1.  Изучение нового материала

Рассмотрим фигуру изображенную на рис.1. Снизу фигура ограничена осью абсцисс, с боков прямыми х=а и х=b, а сверху графиком функции f непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b]. Такую фигуру называют криволинейной трапецией.

Рассмотрим задачу.

Задача 1. В декартовой прямоугольной системе координат хОу дана фигура, ограниченная осью х, прямыми х = а, х = b (а < b) и графиком непрерывной и неотрицательной на отрезке [а;b] функции у=f(x). Требуется вычислить площадь этой фигуры.

Найдем, используя геометрические соображения, приближенное значение площади. Для этого разобьем отрезок [а;b] (основание криволинейной трапеции) на n равных частей с помощью точек , …, , ,…, . Проведем соответствующие ординаты. Криволинейная трапеция разбилась на n частей – на n узеньких столбиков. Площадь трапеции будет равна сумме площадей столбиков.

Рассмотрим отдельно k-тый столбик, т.е. криволинейную трапецию, основанием которой служит отрезок [ ; ]. Заменим его прямоугольником с тем же основанием и высотой, равной f(). Площадь прямоугольника равна , где -длина отрезка [ ; ]. Мы получили приближенное значение площади k-го столбика.

Площадь S заданной криволинейной трапеции приближенно равна площади  ступенчатой фигуры, составленной из n прямоугольников (рис.2):

Считаем, что ,  .Приближенное равенство  тем точнее, чем больше n.

Принято считать, что искомая площадь криволинейной трапеции равна пределу последовательности (): .

Можно доказать, что этот предел существует. Его называют определенным интегралом от функции у= f(х) по отрезку [а; b] и обозначают так: ;

читают: интеграл от а до b эф от икс дэ икс. Числа а и b называют пределами интегрирования (соответственно нижним и верхним)

Вернемся к задаче и запишем: S= ;

здесь S – площадь криволинейной трапеции. В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.

Масса неоднородного стержня с плотностью p(x) вычисляется по формуле   m= . В этом состоит физический смысл определенного интеграла.

Перемещение s точки, движущейся по прямой со скоростью v(t), за промежуток времени от t=а до t=b, вычисляется по формуле  s= .  Это еще одно физическое истолкование определенного интеграла. Для вычисления определённого интеграла воспользуемся теоремой.

Теорема. Если функция y= f(x) непрерывна на отрезке [а; b], то справедлива формула , где F(x) – первообразная для f(x).

Эту формулу называют формулой Ньютона – Лейбница.

Рассмотрим свойства определённого интеграла.