Теорема Лагранжа. Формулы конечных приращений

Теорема Лагранжа или формула конечных приращений

Если функция непрерывна на отрезке, а также дифференцируема на интервале, то на интервале найдется хотя бы одна точка, для которой будет справедливо равенство:

Признак монотонности

Функция называется монотонной на промежутке, если она на этом промежутке или возрастает, или убывает.

Достаточное условие монотонности функции.

Пусть функция определена и дифференцируема в промежутке. Для того чтобы функция была возрастающей в промежутке, достаточно, чтобы для всех

Для исследования функции на монотонность необходимо:

1. найти её производную;

2. найти критические точки функции как решения уравнения; f’(x)=0.

3. определить знак производной на каждом из промежутков, на которые критические точки разбивают область определения функции;

4. согласно достаточному условию монотонности функции определить промежутки возрастания и убывания.

Исследование функции на экстремум.

Теорема 1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x ₀ экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Теорема 2. (Достаточное условие существования экстремума.) Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x ₀, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x ₀). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x ₀ функция имеет максимум. Если же при переходе через x ₀ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

1. f '(x) >0 при x < x ₀ и f '(x)< 0 при x> x ₀, то x ₀ – точка максимума;
2. f '(x) <0 при x < x ₀ и f '(x)> 0 при x> x ₀, то x ₀ – точка минимума.

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум

1. Найти область определения функции f(x).
2. Найти первую производную функции f '(x).
3. Определить критические точки, для этого:
1. найти действительные корни уравнения f '(x) =0;
2. найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.
4. Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.
5. Вычислить значение функции в точках экстремума.

Признаки выпуклости и вогнутости графика

Точки перегиба и их отыскания

Вертикальные асимптоты

 

Невертикальные асимптоты

Асимптоты бывают вертикальные, НАКЛОННЫЕ и ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ.

Прямая y = kx+b является наклонной асимптотой, если

Найдём k и b.

 - важно.

Итак, k и b находятся по формулам

Если хотя бы один из этих пределов не существует или бесконечен, то не существует соответствующая наклонная асимптота.

У графика функции может существовать не более двух наклонных асимптот.

При k = 0 из

Таким образом, получаем уравнение горизонтальной асимптоты: y = b.