Взаимоотношение многополярных групп (алгебры)

Возьмём для примера трёхполярное умножение ί j k = 1.

Здесь в сложении ί + j + k= 0.

Это возможно и непротиворечиво, когда ί = j k, j = ί k, k = ί j.

Отсюда ί² = j² = k² = 1. На базе этого в сложении получим ί² + j² + k² = 0, а так же ί² + j² + k² + 2(ί + j + k) = 0. В итоге, 3 = 0. Не спешите с выводом, это не противоречие. В подобных пространствах ί + j = k, ί + k = j, j + k = ί.

В итоге получим цикличность не только в умножении, но и сложении, когда 2ί = 2j = 2k = 0, но 3ί = ί, 3 j = j, 3k = k.

Некоторый аналог найдём в современной двухполярной тригонометрии. Там α + α = 360⁰, однако, 3α = α, если α = 180⁰, кроме этого cos2α = 0, если α = π/4, но cos9α = cosα.

Взаимоотношение групп «сложения», «умножения», «деления», по сути, представляет многополярные алгебры двух интенсивностей связи.

 

Многополярное поле

Многополярное поле или поле Ленского

Взаимообратными могут быть не только два обратных элемента. Раньше были приведены группы Ленского, где в пространстве будет столько обратных элементов, сколько в нём полярностей. Подобное встречается и в современной математике, где, например, в так называемом кольце Ли а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, a² = 0 выражено отношение трёх полярностей, как некоторый частный случай многополярных групп Ленского.

1. Современное понятие поля расширяется с применением многополярных алгебр так, что существующее поле входит как частный случай в многообразие многополярных полей. Например, в отличие от кольца Ли в плоскостном отношении могут быть кольца: четырёхполярные ί + j + k + γ = 0, пятиполярные а + b + с + d + l = 0 и так далее. Тем не менее, число полярностей не произвольно, так как оно определяет только свои законы отношений.

2. Многополярное поле или поле Ленского не ограничивается тремя видами связей: сложением, умножением и делением (см. дальше Интенсивности связей).

3. Поля Ленского определяются видами лок (см. Пространства). При этом «плоскостные пространства» определяют операции сложения, а «объёмные пространства» - операции умножения.

4. Каждое многополярное поле или поле Ленского есть взаимоотношение пространств с разными видами связи. Например, плоскостная лока с пятью элементами ί, j, k, γ, 0 и объёмная лока могут образовать поле, в котором ί + j + k + γ = 0, а также ί² =j, j² = γ и так далее (см. «Комплексные числа. Четырёхполярность» в разделе Пространства).

В результате на этом поле (ί + j + k + γ)(ί + j + k + γ) = 0*0 будет равно вещественному числу 4. В отличие от сегодня принято 0*0 = 0.

5. Следует обратить внимание на тот факт, что до образования поля есть простая алгебра, но так, что там нет ни «сложения», ни «вычитания». Операции поля, то есть алгебры, начинаются только тогда, когда в отношение вводятся пространства с сохранением своих единиц. Например, в трёхполярности с полярностями a, b, е, будет a•b = e, a•a = b, b•b = a. Если же эту локу представить в двух видах с двумя самостоятельными единицами, обозначив одну единицу 1, а другую 0, то получим возможность взаимодействия этих пространств. Здесь будет (a)(b) = 1, (a)(a) = b, (b)(b) = a и к тому же a + b = 0, а так же а + а = b, b + b = a.

Хотя в результате взаимодействий таких пространств получим 1 + 1 = 0, то пусть это не считается (по причине привыкания к известным алгебрам) противоречием. Здесь единица обратная самой себе. В отличие от существующей алгебры, здесь взято пространство «сложения» циклическое, такое, что a + а + а = а, b + b + b = b.

Произвола в многополярности нет; результаты зависят от выбранных пространств и их отношений.

Современное понятие поля

Современное понятие поля

Поле – алгебраическое понятие, часто используемое как в самой алгебре, так и в других отделах математики и являющееся предметом самостоятельного изучения. Над обычными числами можно производить четыре арифметических действия (основные — сложение и умножение, и обратные им — вычитание и деление). Этим же характеризуются и поле. Полем называется всякая совокупность (или множество) элементов, над которыми можно производить два действия — сложение и умножение, подчиняющиеся обычным законам (аксиомам) арифметики:

I. Сложение и умножение коммутативны и ассоциативны, т. е. a + b = b + a, ab = ba, a + (b + c) = (a + b) + c, a (bc) = (ab) c.

II. Существует элемент 0 (ноль), для которого всегда а + 0 = а; для каждого элемента а существует противоположный -а, и их сумма равна нулю, то есть а – а = 0. Отсюда следует, что в поле выполнима операция вычитания а - b.

III. Существует элемент е (единица), для которого всегда ае = а; для каждого отличного от нуля элемента а существует обратный a^-1; их произведение равно единице. Отсюда следует возможность деления на всякое не равное нулю число а.

IV. Связь между операциями сложения и умножения даётся дистрибутивным законом: a (b + c) = ab + ac.

*Критика.

1. Как и следовало ожидать, здесь математики склеивают понятие числа и полярности. Например, наличие обратных элементов суть наличие полярных объектов. Поэтому а – b= 0 или a • a^-1 = a^-1 • a = e характеризуют полярные состояния, но не числа.

2. Взаимообратными могут быть не только два обратных элемента. Например, в так называемом кольце Ли а (bc) + b (ca) + с (аb) = 0, a² = 0 выражено отношение трёх полярностей, как некоторый частный случай многополярных колец Ленского.

Многополярное поле