Модифицированная внутренняя норма рентабельности

У критерия внутренней нормы рентабельности есть и еще один, более существенный недостаток, о котором часто забывают и пишут далеко не во всех учебниках: критерий IRR завышает доходность проекта.

Помните, начав рассматривать этот критерий, мы написали в рамочке, что критерий IRR как бы эквивалентирует проект вложениям денег с постоянной нормой доходности. Должен сказать, что паразитический

 

⁹ Следует заметить, что указанную задачу можно было бы решить просто через формулу геометрической прогрессии, но это снова было бы неосознанное формальное решение. Более целесообразным представляется ее вывести.

¹⁰ Такой поток называется бесконечной денежной рентой или перпетуитетом.

 

 

оборот «как бы», здесь вовсе не паразит. Данное утверждение справедливо только для проектов продолжительностью 1 год, но здесь и эквивалента не надо. Что же касается более длинных проектов, то IRR завышает доходность эквивалентного проекта. Для того чтобы убедиться в этом предлагаю вам выполнить следующее задание.

Если вы правильно выполните задание 3.8. то убедитесь, что чистая приведенная стоимость «эквивалентного» проекта, существенно больше, чем собственно проекта З. Так, что действительно, эквивалентность здесь имеет место «как бы», но не совсем. В чем же здесь дело? А дело здесь в том, что технология расчета внутренней нормы рентабельности неявно предполагает, что получаемые от проекта деньги реинвестируются с доходностью IRR вплоть до его окончания. Докажем это, для любознательных.

Пусть мы имеем проект продолжительностью n лет, с потоками С_t и внутренней нормой доходности IRR. Предположим, также, что в нулевой год осуществляются инвестиции, а в остальные годы мы имеем положительное сальдо денежных потоков. Тогда, по предлагаемой технологии, внутренняя норма рентабельности определяется из решения следующего уравнения

n

å  C t

t = 0

´    1

(1 + IRR)^t

= С 0

n

+ å

t = 1

C     1    = 0

^t (1 + IRR)^t

(1)

Теперь построим «эквивалентный проект», приведя все получаемые притоки к концу проекта, по ставке IRR, а потом, что получится – к началу

n

С 0 + å  C t

t = 1

(1 + IRR)^{(n - t)}

(1 + IRR)ⁿ

(2)

Проект (2) предполагает реинвестирование получаемых проектом (1) потоков денежных средств с доходностью IRR до конца периода проекта.

Для того чтобы рассчитать внутреннюю норму рентабельности модифицированного проекта, нужно решить уравнение:

 

n

С 0 + å  C t

t = 1

(1 + IRR)^{(n - t)}

=

0

(1 + IRR)ⁿ

Сократив числитель и знаменатель, получим:

t=0

n     (1 + IRR)^{(n - t)   n}             1

С 0 + å C t

t = 1

(1 + IRR)ⁿ

= å C t ´  (1 + IRR)^t =  0

В результате, для расчета внутренней нормы рентабельности модифицированного проекта мы получили соотношение, которое нужно использовать для расчета внутренней нормы рентабельности исходного проекта. Таким образом, с точки зрения величины IRR, проекты (3.5) и (3.6) эквивалентны. Однако, если рассчитать чистую приведенную стоимость проектов, то при любом значении r< IRR, чистая приведенная стоимость

«эквивалентного проекта» (3.6) будет выше, чем у исходного проекта (3.5). То есть, используемый алгоритм расчета внутренней нормы рентабельности завышает эквивалентную доходность проекта.

Что же нам следует сделать, чтобы избежать этой ошибки и получить оценку доходности действительно эквивалентную вложениям с постоянной нормой прибыли? Надо сказать, что, когда знаешь результат, это оказывается достаточно простым делом. Для этого нужно лишь построить проект, эквивалентный исходному не в смысле внутренней нормы рентабельности, а в смысле чистой приведенной стоимости.

Если предположить, что полученные от проекта притоки реинвестируются до его окончания с доходностью равной цене капитала (ставке дисконтирования), то мы как раз и получим эквивалентный по NPV проект. А потом, рассчитав его внутреннюю норму рентабельности, получим оценку доходности модифицированного проекта, эквивалентного исходному по величине чистой приведенной стоимости. Именно эта оценка называется модифицированной нормой рентабельности MIRR (Modified Internal Rate of Return), и именно она эквивалентирует проект депозитом с постоянной годовой доходностью.

Докажем сказанное. Денежные потоки исходного (И) и модифицированного (М) проектов, с учетом реинвестиции получаемых притоков по ставке, равной цене капитала r, приведены в табл. 3.13. Здесь же приведены денежные потоки инвестирования величины С₀, с доходностью MIRR и капитализацией (проект Д).

Значения приведенных стоимостей проектов И и М – одинаковы. Это видно из приводимых ниже соотношений.

N          1             n

(1 + r)^{n - t}

NPV И =  C 0   + å C t (1 + r)^t =  C 0   + å C t (1 + r)^t ´ (1 + r)^{n - t} =

t = 1

n

=

t = 1

(1 + r)^{n - t}

C 0 + å

t = 1

(1 + r)ⁿ

= NPV M

Таблица 3.13

Сравнение исходного и эквивалентных проектов

 

И	С0	С1	С2	…	С n–1	Cn
М	C0	0	0	…	0	n åC t (1 + r)n-t t=1
Д	С0	0	0	…	0	–С0(1+MIRR)n

Теперь нужно доказать равенство значений чистой приведенной стоимости у проекта М и Д. В результате чего, можно будет утверждать, что модифицированная внутренняя норма рентабельности MIRR показывает годовую доходность эквивалентного депозита с капитализацией.

Для доказательства сказанного, прежде всего, получим выражение для величины 1+MIRR, воспользовавшись изложенным ранее определением: модифицированная внутренняя норма рентабельности – это такая ставка дисконтирования, при которой чистая приведенная стоимость модифицированного проекта М обращается в ноль.

Решая уравнение

 

 

получим

n

å  C t (1 + r)^{n - t}

С 0 +   t = 1                       =  0,

(1 + MIRR)ⁿ

1 + MIRR =                            .

 

 

Подставив полученное значение 1+ МIRR, в выражение для потока С_n проекта Д (табл.3.13), получим его величину в новом виде

n

С n,д = å C t (1 + r)^{n - t},

t = 1

что соответствует выражению для потока n – го года проекта М. Следовательно, и значения чистой приведенной стоимости проектов М и Д равны. Таким образом, мы доказали, что модифицированная внутренняя норма рентабельности эквивалентирует исходный проект капитализируемым депозитом с постоянной годовой доходностью равной MIRR.

 

Соответствующая формула будет иметь вид:

 

 

MIRR =                             - 1,

 

 

t

где Cⁱⁿ – притоки, а

C^out – оттоки денежных средств.

t

Важно заметить, что кроме более корректного эквивалентирования среднегодовой доходности инвестиционного проекта, критерий модифицированной внутренней нормы рентабельности имеет еще одно существенное преимущество.

В целях проверки сказанного предлагаю вам выполнить два задания.