Ранжирование выборки и отсев грубых ошибок

Таблица 2.1. Ранжированные данные.

 

№ инструмента	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
N, шт	40	40	40	40	40	40	40	60	60	60	60
№ инструмента	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22
N, шт	60	80	80	80	80	80	80	80	80	80	80

 

Для отсева грубых ошибок методом максимального относительного отклонения нужно убедиться в выполнении условия:

| 𝑁 𝑖 − 𝑁 � |   ≤ 𝑟

, (2.1)

𝑆

где 𝑁� - среднее значение выборки,

𝑆̅ - среднеквадратичное отклонение,

𝑟_1−𝑃 - квантиль уровня P.

1−𝑃

Граничные значения:

 

 

Среднее значение выборки:

 

𝑁𝑚𝑎𝑥 = 80 шт., 𝑁𝑚𝑖𝑛 = 40 шт.

𝑁� =

𝑛

∑

𝑖=1

𝑛

𝑁𝑖

= 62,72 шт.,   (2.2)

Среднеквадратичное отклонение выборки:

𝑆̅ = �∑𝑛  (𝑁−𝑁�)2  = 17,78 шт.  (2.3)

𝑖=1              

𝑛−1

Проверка по вхождению граничных значений в доверительный интервал с вероятностью P=0,9.

𝑟𝑚𝑎𝑥

𝑟𝑚𝑖𝑛

= | 𝑁 𝑚 𝑎 𝑥 − 𝑁 � |  = 0,97        (2.4)

𝑆̅

𝑆̅

= | 𝑁 𝑚𝑖 𝑛 − 𝑁 � |  = 1,28         (2.5)

Для выборки объемом n=22 и уровня значимости α=0,05, 𝑟_1−𝑃=2,66 (см. Приложение 1).

𝑟_𝑚𝑎𝑥 = 0,97  < 2,66  =  𝑟_1−𝑃

𝑟_𝑚𝑖𝑛 = 1,28  < 2,66  =  𝑟_1−𝑃

Граничные значения выборки удовлетворяют условию (2.1), грубых ошибок нет.

Проверка гипотезы нормальности распределения

Проверка по критерию среднего абсолютного отклонения (САО)

По данному критерию гипотеза о нормальности распределения результатов принимается, если выполняется условие:

�^САО − 0,7979� < ^0.4

(2.6)

𝑆

∑𝑛

 

|𝑁𝑖−𝑁�|

√𝑛

САО =

𝑖=1

𝑛

= 15,7 шт. (2.7)

�САО − 0,7979� = � 15,7

− 0,7979� = 0,0854

𝑆                            17,78

0.4 = 0.4

= 0,0853

√𝑛 √22

Условие (2.6) не выполняется (0,0854 > 0,0853),гипотеза отвергается, данная выборка не удовлетворяет критерию САО нормальности распределения.

Проверка по размаху

Размах выборки:

 

𝑅 = 𝑁_𝑚𝑎𝑥 − 𝑁_𝑚𝑖𝑛 = 80 − 40 = 40 шт.             (2.8)

𝑅 =  40

= 2,25         (2.9)

𝑆     17,78

Критические значения отношения R/S для выборки объемом n=20 и уровня значимости α=0,05: верхняя граница - 4,49; нижняя граница - 3,18 (см. Приложение 2).

2,25<3,18 - выборка не удовлетворяет данному критерию нормальности распределения, гипотеза отвергается.

Проверка гипотезы нормальности распределения в ПО «NORM»

Полученные выше результаты были подтверждены вычислениями на ЭВМ с помощью программы NORM (Рис. 2.1).

 

Рис. 2.1.

Результаты расчета в программе NORM.

 

 

Рис. 2.2.

Гистограмма распределения, построенная с помощью программы NORM.

Построение гистограммы распределения

Количество интервалов, необходимых для разбиения диапазона Т, определяется по формуле Штюргеса:

где N - объем выборки. Ширина интервала:

𝑘 ≈ 1 + 3,32 ∗ 𝑙𝑔 𝑁,  (2.10)

 

𝑘 = 1 + 3,32 ∗ 𝑙𝑔22 = 1 + 4,46 = 5,46 ≈ 6. (2.11)

 

 

ℎ = ^{𝑁𝑚𝑎𝑥−𝑁𝑚𝑖𝑛} = ⁴⁰ = 6,67 шт.           (2.12)

𝑛                     6

Подсчитаем частоту попадания значений выборки в полученные интервалы:

 

Таблица 2.3. Данные для построения гистограммы

 

Интервал значений, шт	𝑵сред, шт	Частота
40 ≤ 𝑁 ≤46,67	43,33	7
46,67 < 𝑁 ≤53,33	50	0
53,33 < 𝑁 ≤60	56,67	5
60< 𝑁 ≤66,67	63,33	0
66,67 < 𝑁 ≤73,33	70	0
73,33< 𝑁 ≤80	76,67	10

 

По данным Таблицы 2.3 построим гистограмму:

 

Рис. 2.3. Гистограмма распределения.

Данная гистограмма совпадает с гистограммой, построенной с помощью программы «NORM» (Рис. 2.2.).

Построение графика экспериментальной зависимости

Необходимо проверить исходные данные на наличие грубых ошибок. Для этого проверим выборки износа h для различного количества отверстий N из таблицы 1.3.

 

Таблица 3.1. Проверка исходных данных на наличие грубых ошибок.

 

N, шт	20	40	60	80
𝒉�, мм	0,41	0,71	0,81	0,95
�𝑺, мм	0,25	0,28	0,34	0,20
𝒕𝒎𝒂𝒙	2,34	2,14	1,74	1,25
𝒕𝒎𝒊𝒏	1,20	1,83	2,07	1,70
𝑟𝟏−𝒑	2,62	2,62	2,49	2,29

 

По результатам проверки следует вывод, что в данных выборках нет грубых ошибок. График зависимости h(N) строится по средним значениям величины износа h для количества отверстий N.

 

 

Рис. 3.1. График зависимости ℎ� = 𝑓(𝑁)

Составление корреляционной таблицы и определение коэффициента корреляции

Все значения h лежат в интервале [0,1;1,4] мм. Для построения корреляционной таблицы все значения величины износа h разбиваются на 16 интервалов шириной 0,087 мм.

 

Таблица 3.2. Корреляционная таблица

 

№

Y(h, мм)

 

𝒗_𝒊

X(N, шт)

 

𝒉_𝒋

𝒖_𝒊

20 40 60 80 1 1,357.. 1,443 1,40 0 0 1 0 1 2 1,27.. 1,357 1,31 0 1 0 0 1 3 1,183.. 1,27 1,23 0 0 1 2 3 4 1,097.. 1,183 1,14 0 0 0 1 1 5 1,01.. 1,097 1,05 0 0 0 0 0 6 0,923.. 1,01 0,97 1 2 4 3 10 7 0,837.. 0,923 0,88 0 4 3 1 8 8 0,75.. 0,837 0,79 2 3 1 1 7 9 0,663.. 0,75 0,71 1 2 0 1 4 10 0,577.. 0,663 0,62 1 2 2 1 6 11 0,49.. 0,577 0,53 2 2 0 0 4 12 0,403.. 0,49 0,45 0 0 1 0 1 13 0,317.. 0,403 0,36 2 2 0 0 4 14 0,23.. 0,317 0,27 4 1 1 0 6 15 0,143.. 0,23 0,19 6 1 0 0 7 16 0,057.. 0,143 0,10 1 0 1 0 2

𝒉_𝒊

20 20 15 10 65

где 𝑢_𝑖, 𝑣_𝑖 - середины интервалов сетки по оси абсцисс и ординат соответственно,

ℎ_𝑖𝑗 - абсолютная частота попадания в ячейку,

ℎ_𝑖, ℎ_𝑖 - суммы частот по столбцам и строкам соответственно,

𝑙                                     𝑘                     𝑙    𝑘

ℎ_𝑖 = � ℎ_𝑖𝑗

𝑗=1

, ℎ_𝑗 = � ℎ_𝑖𝑗

𝑖=1

, � � ℎ_𝑖𝑗 = 65 = 𝑛

𝑗=1 𝑖=1

Сумма частот по строкам и столбцам равна количеству элементов выборки, таблица составлена правильно.

Промежуточные коэффициенты:

𝑘

1

𝑥̅ = 𝑛 � ℎ_𝑖𝑢_𝑖 = 44,62 шт

𝑖=1

𝑙

1

𝑦� = 𝑛 � ℎ_𝑗𝑣_𝑗  = 0,67 мм

𝑗=1

𝑆² = 1

𝑘

� ℎ (𝑢

 

− 𝑥̅)² = 447,12 шт²

 

^𝑥 𝑛 − 1

𝑖    𝑖

𝑖=1

𝑘

𝑆² = 1

� ℎ (𝑣

− 𝑦�)² = 0,11 мм²

 

^𝑦 𝑛 − 1

𝑗   𝑗

𝑗=1

𝑙    𝑘

𝑆𝑥𝑦

= 1

𝑛 − 1

� � ℎ_𝑖𝑗

𝑖=1 𝑗=1

(𝑢_𝑖

− 𝑥̅)(𝑣_𝑗

− 𝑦�) = 4,49

 

 

Находим коэффициент корреляции по формуле:

∑𝑙

∑𝑘

ℎ𝑖𝑗(𝑢𝑖−𝑥̅)(𝑣𝑖−𝑦�)

𝑗=1

𝑟_𝑥𝑦 =   ^{𝑗=1 𝑖=1}                     , (3.1)

�∑

𝑘

𝑖=1

ℎ𝑖(𝑢𝑖−𝑥̅)2∙∑𝑙

ℎ𝑗(𝑣𝑖−𝑦�)2

𝑥𝑦

𝑟 = 287,3

482,03

= 0,596 (3.2)

Коэффициент корреляции больше нуля, следовательно, зависимость между N и h прямая (большим значениям N соответствуют большие значения h).