П. 2. Проекция вектора на подпространство.

С помощью скалярного произведения можно искать проекцию вектора на подпространство.

Пусть  - базис k-мерного подпространства в n-мерном пространстве. Вектор  не принадлежит подпространству.

Требуется найти вектор , такой, что  для любого номера .       Чертёж:

 для любого i

Если базис  является ортогональным, то каждый из коэффициентов  определяется отдельно от остальных:

, где из-за ортогональности базисных векторов, остаётся лишь одно скалярное произведение, при совпадающих номерах

. 

В случае, когда базис  не ортогонален, то для нахождения коэффициентов пришлось бы решать систему уравнений: 

, где . 

где основная матрица этой системы – это матрица Грама. Поэтому бывает, что лучше сначала ортогонализовать систему (алгоритм ортогонализации Грама-Шмидта был изучен в конце 1 семестра).

 

Задача. Найти проекцию вектора  на плоскость, порождённую векторами , .  

Решение. Необходимо найти такую линейную комбинацию  векторов, , чтобы .     

Если мы не ортогонализовали систему векторов, то нужно будет решить систему уравнений: 

 

В данном примере она имеет вид: 

         

(сократим на общий множитель в каждом, вычтем из второе утроенное первое).

Тогда , и тогда .
Проекцией является вектор  =  =

 = . Ответ. Вектор . 

Проверка.  = . Проверим, что эта разность ортогональна обоим векторам , .  

, . 

 

- - -

П.3. Пересечение подпространств.

Если в пространстве  даны 2 подпространства размерности  соответственно (с помощью систем векторов  и ), то для нахождения пересечения подпространств нужно составить и решить систему: . Перенесём слагаемые справа налево, и в итоге увидим, что это - именно однородная система:  

.

Решая её, получим ФСР, затем нужно будет составить линейные комбинации векторов  или   с помощью найденных .

Задача 1. В трёхмерном пространстве заданы два 2-мерных подпространства, с помощью систем векторов:

, .  Найти базис их пересечения.

Решение.

  

 однородная система уравнений .

Преобразуем основную матрицу методом Гаусса.

базисный минор в первых трёх столбцах, свободная переменная .

Из последнего , из 2-го . Тогда из 1-го

 =  = .

Общее решение: . ФСР: . 

Пересечение одномерно. Если посчитаем линейную комбинацию векторов  с коэффициентами , либо

 с коэффициентами , получим одно и то же:

Подставить в

 ,  

 

Можно сократить на 2 и в качестве базиса можно принять вектор . Ответ. базис пересечения: .

Пересечение может оказаться и 2-мерным, то есть 2 указанные плоскости совпадать. Посмотрим, как это влияет на решение, увидим из следующего примера. 

Задача 2. В трёхмерном пространстве заданы два 2-мерных

подпространства, с помощью систем векторов:

, .  Найти базис их пересечения.

Решение. Строим систему уравнений, как и в прошлой задаче.

 однородная система уравнений .

Преобразуем основную матрицу методом Гаусса.

  

Третье уравнение состоит из нулей, ранг системы равен 2. 

Из второго, , тогда из 1-го 

 =  = . 

Общее решение ,

ФСР .  

Подставим в

,   .  

Таким образом, 2 вектора второй системы получились базисом пересечения. Плоскости совпадают.

 

Задача 3. Найти базис пересечения двух трёхмерных подпространств 4-мерного пространства.

, 

. 

Решение.

, 

, 

Строим и преобразуем основную матрицу.

  

  

 ,

 = . 

 =  = .  

 =  = .

 

Общее решение: . 

ФСР: , . 

Подставляем в

1) , 

2) . 

Ответ. Базис пересечения: .

ПРАКТИКА 2.    13.2.2021.

Нахождение определителей Грама для систем функций.

, где

Каждое х как координата, континуум координат.

Матрица Грама невырождена  система функций ЛНС.

Задача 1 (а,б).

а) Даны две функции на (0,1): , . (ЛЗС)

б) Даны две функции на : 

, . (ЛНС)

Найти определители Грама этих систем.

 

а)  =  =  =

 = . 

б) , значит, и интеграл от  равен 0. 

 =    = .

 

Задача 2 (комбинированная, на поиск пересечения и проекции).

Даны два подпространства, с помощью линейных оболочек систем векторов: 

, 

. 

Найти базис их пересечения, и проекцию вектора   на пересечение.

 

Решение.   Составляем выражение: 

Переносим в левую часть:

Решаем однородную систему с такой основной матрицей:

  

  

  

Ранг 3. Базисный минор можно составить из 1,2,5 столбцов, чтобы коэффициенты по возможности были 1.

Система:

Из третьего , 

Тогда из второго  

  

Из первого  ,

Общее решение 

. 

ФСР , , .

Каждое подставить в

 

 .

Итак, получили векторы (0,0,0,0), (0,0,0,1), (0,0,0,2).

То есть, пересечение одномерно, базис (0,0,0,1). 

Проекция вектора  на а = (0,0,0,1), это последняя координата, то есть 4.

Либо по формуле  то же самое.