Сравнение полигона относительных частот и нормальной кривой показывает, что построенная кривая удовлетворительно сглаживает полигон

ПУНКТ 8 Интервальные оценки параметров нормального закона распределения

Интервальные оценки параметров нормального закона распределения определяются только в том случае, если подтверждается гипотеза о нормальном распределении. В нашем случае, =33.098 а χ²_крит=7.815

Так как условие < χ²_крит не выполняется, гипотезу о нормальном распределении стоит отвергнуть, следовательно, оценка параметров нормального закона распределения для случайной величины У(среднегодовое превышение нормы), в данной курсовой работе не проводится.

СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛЕЧИНЫ Х(СТАЖ РАБОТЫ)

ПУНКТ 1 Интервальный и дискретный статистические ряды распределения частот и относительных частот.

Статистическая обработка результатов эксперимента в случае выборки большого объема(n> 50) начинается с группировки выборочных значений, то есть с разбиения наблюдаемых значений СВ на k частичных интервалов равной длины и подсчета частот попаданий значений СВ в частичные интервалы.

 Сделаем группировку наблюдаемых значений. Оптимальную длину интервала определим по формуле Стэрджеса:

,

где Х_max, X_min –соответственно максимальное и минимальное выборочные значения СВ Х(Стаж работы), n—объем выборки.

Для СВ Х(Стаж работы) n=100, Х _max =11, X_min =6. Следовательно,

В качестве левого конца первого интервала возьмем величину, равную

а₁= X_min-- =6-- =6—0.35=5.65. Если а_i-начало   i-го интервала, тогда

а₂= а₁+h=5.65+0.7=6.35 и т д. Составим таблицу (таб.2)

                                                                                                               Таблица.2

 

 Вспомогательная таблица для расчета числовых характеристик выборки

интервалы (аi;ai+1)	середины интервалов	подсчет частот	частоты ni	относит. частоты Wi=ni/n	накопительные относительные частоты
1	2	3	4	5	6
(5.65;6.35]	6		13	0.13	0,13
(6.35;7.05]	6.7		20	0.2	0,33
(7.05;7.75]	7.4		0	0	0,33
(7.75;8.45]	8.1		35	0.35	0,68
(8.45;9.15]	8.8		18	0.18	0,86
(9.15;9.85]	9.5		0	0	0,86
(9.85;10.55]	10.2		11	0.11	0,97
(10.55;11.25]	10.9		3	0.03	1,00

 

 ПУНКТ 2 Гистограмма и полигон относительных частот

 Первый и пятый столбцы таблицы 1 составляют интервальный статистический ряд относительных частот, графическое изображение которого—гистограмма относительных частот (ступенчатая фигура на рис.1)

Дискретный статистический ряд относительных частот задается вторым и пятыми столбцами, графическое изображение, которого—полигон относительных частот (изображен на рис.1 ломаной линией)

 

        Рис.1—гистограмма и полигон относительных частот

 

ПУНКТ 3 Эмпирическая функция распределения и ее график

Эмпирическая функция распределения F^*(х) выборки служит для оценки функции распределения F(х) генеральной совокупности.

Функция F^*(х) определяет для каждого значения х относительную частоту событий Х<х:

F^*(х)= ,

где n_x-число выборочных значений, меньших х; n-объем выборки.

Шестой столбец таблицы 1 содержит накопленные частоты, то есть значения эмпирической функции распределения F^*(х), они относятся к верхней границе частного интервала.

Эмпирическая функция распределения F^*(х) имеет вид:

 

F^*(х)=

График эмпирической функции распределения F^*(х) изображен на рис.2

 

              рис.2—График эмпирической функции распределения

 

 

ПУНКТ 4 Числовые характеристики выборки

Для вычисления числовых характеристик выборки (х, Д_х, S_х^*, Э_х^*) удобно использовать таблицу.3,где в первых двух столбцах приведены сгруппированные исходные данные, а остальные столбцы служат для вычисления числовых характеристик
                                                                                                               Таблица 3

Таблица для расчета числовых характеристик выборки

середин интервалов хi	Частоты ni	xi—x	(xi—x)ni	(xi—x)2ni	(xi—x)3ni	(xi—x)4ni
1	2	3	4	5	6	7
6	13	-1.988	-25.844	51.378	-102.139	203.053
6.7	20	-1.288	-25.76	33.178	-42.734	55.042
7.4	0	-0.588	0	0	0	0
8.1	35	0.112	3.92	0.439	0.049	0.005
8.8	18	0.812	14.616	11.868	9.637	3.478
9.5	0	1.512	0	0	0	0
10.2	11	2.212	24.332	53.822	119.055	263.350
10.9	3	2.912	8.736	25.439	74.079	215.718
Σ	100	-	0	175.942	57.947	740.646

 

Выборочное среднее вычисляется по формуле:

             ,

где m—число интервалов, х_i—середины интервалов

Выборочное среднее дает усредненное значение стажа работы для данной выборки.

 

          Выборочную дисперсию для сгруппированных данных вычисляют по формуле:

                  

1.3

Выборочное среднее квадратическое отклонение находят по формуле:

                      . Для СВ Х S_х=

Оно показывает разброс выборочных значений х_i, относительно выборочного     среднего х=7.988

 

Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляются по формулам:

 

 

Используя суммы из последних строк шестого и седьмого столбцов таблицы 3,

получим:

 

 

0 говорит о несимметричности полигона (гистограммы) относительно выборочного среднего х(стажа работы).

Отрицательность выборочного коэффициента эксцесса показывает, что полигон

менее крут, чем нормальная кривая

 

ПУНКТ 5 Предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины Х(стажа работы)

 

Мы предварительно предполагаем, что СВ Х(стаж работы) распределена   нормально по совокупности следующих признаков.

Вид полигона и гистограммы относительных частот напоминает нормальную кривую (кривую Гаусса)

Выборочные коэффициенты асимметрии  и эксцесса

отличаются от значений асимметрии и эксцесса для нормального распределения (которые равны нулю) не более чем на утроенные средние квадратические ошибки

их определения.

                         ,

                         ,

где

 

 

Можно предположить, что стаж работы (СВ Х) изменяется под влиянием большого числа факторов, примерно равнозначных по силе.

Итак, по совокупности указанных признаков можно предположить, что      распределение СВ Х является нормальным

 

ПУНКТ 6 Точечный оценки параметров нормального закона распределения

 

Функция плотности нормального распределения имеет вид

          

  В качестве неизвестных параметров а и σ возьмем их точечные оценки 7.988 и S_х=  соответственно. Тогда дифференциальная f(x) и интегральная функции F(x) предполагаемого нормального закона распределения примут вид:

 

;

 

ПУНКТ 7 Гипотеза том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения

 

Гипотезу о том, что генеральная совокупность, из которой извлечена выборка, распределена по предлагаемому нормальному закону, назовем нулевой

(Н_о:Х N(a,σ)), тогда Н_а:Х N(a, σ)

Проверяем ее с помощью критерии согласия χ² Пирсона.

Согласно критерию Пирсона сравниваются эмпирические n_i(наблюдаемые) и теоретические np_i(вычисленные в предложении нормального распределения)

частоты. В качестве критерия проверка нулевой гипотезы принимается случайная величина.

По таблице критических точек распределения χ² по заданному

уровню значимости а и числу степеней свободы v=S-r-1 находим критическое

 значение χ²_крит(а,v)

 

Если проверяется гипотеза о нормальном распределении, то вероятности p_i рассчитываются с помощи функции Лапласа Ф(х):

где х=7.988, S_x=1.326

 

 

Вычисления сведем в таблицу.3  Количество интервалов S=6.

Так как предполагается нормальное распределение имеющее два параметра(математическое ожидание а и среднее квадратические отклонение σ), поэтому r=2, тогда число степеней свободы v=S-r-1=6-2-1=3

 

                                                    

                                                                                Таблица 3

                    Расчетная таблица для вычисления  

интервалы (хi;хi+1)	частоты эмпирические ni	Вероятности рi	Теоретические частоты npi
(-∞;6.35]	13	0.10935	10.93	0.3920
(6.35;7.05]	20	0.12335	12.34	4.7549
(7.05;7.75]	0	0.19588	19.59	19.59
(7.75;8.45]	35	0.20825	20.83	9.6576
(8.45;9.15]	18	0.17374	17.37	0.0228
(9.15;9.85]	0	0.10867	10.87	10.87
(9.85;10.55]	11	0.005396	5.40	5.8074
(10.55;+ ∞]	3	0.05396	2.68	0.0358
Σ	100	1.00	100	51.130

 

Значение =51.130

В таблицах критических точек распределения  по уровню значимости а=0.05 и числу степеней свободы v=3 найдем критическое значение χ²_крит(0.05,3) =7.815

Так как условие < χ²_крит не выполняется будем считать, что гипотеза не согласуется с экспериментальными данными и ее надо отвергнуть