Часть 2. Синтез законов управления для систем с обратной связью.

Структурная схема системы с регулятором

В данной работе строим управление системой по оценке вектора состояния. Приведем структурную схему.

РЕГУЛЯТОР

Датчик ОС

 

 

И полная схема замкнутой системы:

 

k

1-k

C

A

L

B

-K

F

                                                                                                              

 

 

Настройка контура управления.

Будем строить управление по оценке вектора состояния:

Где  - управление, зависящее от задания желаемого выхода,  – оценка вектора состояния.

Для начала найдем просто матрицу , которая в нашем случае является строкой. Для этого запишем характеристическое уравнен ие матрицы A:

 

В качестве проверки можно сравнить с ранее рассчитанным для заданных значений параметров знаменателем передаточной функции.

 

Приведем уравнение с  к виду:

 

 

Таким образом, параметры :

 

 

И собственные значения матрицы А:

 

 

Теперь задаем желаемые свойства замкнутой системы, то есть желаемое расположение собственных чисел матрицы А. Назовем эту желаемую матрицу, описывающую замкнутую систему, . При подстановки управления в модель получаем следующую запись дифференциального уравнения (отсюда заключаем, что в нашем случае К строка):

 

 

Соответственно решается задача расположения трех собственных значений этой матрицы (размерность системы не меняется). Подберем собственные значения так, чтобы не было колебательности замкнутой системы (числа вещественные), и чтобы они сильно не отличались друг от друга, а были примерно в одном числовом интервале (чтобы экспоненты, получаемые в интегральных звеньях, убывали примерно с одинаковой скоростью). Также возьмем значения как можно дальше от мнимой оси, то есть, выбираем их как можно меньше (они должны быть дальше, чем собственные значения самого объекта, чтобы управление успевало сформироваться, пока в объекте протекают процессы). При этом не накладываем никаких ограничений на управление U, которые в реальности всегда существуют. Пусть собственные значения желаемой замкнутой системы:

 

 

Запишем характеристическое уравнение матрицы .

 

 

 Приведем это уравнение к виду:

 

 

При перемножении и подстановки выбранных желаемых собственных чисел:

 

 

Вводим промежуточный вектор , который зависит от установленных значений собственных чисел замкнутой системы и исходной по формуле:

А искомый К определяется:

Позволю себе провести вычисления с помощью пакета MatLab, приводя здесь лишь промежуточные результаты.

 

Найдем теперь строку К, через встроенные функции MatLab, задавая вектор желаемых собственных значений замкнутой системы, в данном случае создавать отдельный М-файл не имеет смысла, так как задача решается одной командой (считаем, что A и b уже заданы):

>> k=place(A,b,[-100 -90 -80])

1.0e+004 * 0.0152 0.0191 1.9565

Видим, что значения совпадают, что свидетельствует о верности расчетов.

Построим матрицу  :