Естественный способ описания движения

 

 Этот способ применяют тогда, когда траектория точки известна заранее. Положение точки А определяют дуговой координатой  – расстоянием вдоль траектории от выбранного начала отсчета до данной точки (Рис.3.2). При этом устанавливают (произвольно) положительное направление отсчета координаты l, например  так, как показано стрелкой на траектории.

Выберем единичный вектор  в точке А, направленной по касательной к траектории в данной точке в сторону возрастания дуговой координаты.

 

 Рис. 3.2.

 

Движение точки определено, если:

· известна ее траектория;

· начало отсчета О;

· положительное направление дуговой координаты l;

· и закон движения точки, т.е. зависимость l = l (t).

Скорость

 

Для характеристики движения МТ вводится векторная величина - скорость. Она характеризует как быстроту движения, так и его направление в данный момент. Рассмотрим движение МТ по некоторой криволинейной траектории.

V

В момент времени t положение МТ характеризуется – ₁; в (t +Δ t) ₂; за промежуток времени Δ t МТ проходит путь Δ S, а радиус вектор получает приращение - Δ

Рис. 4.1. Направление векторов скоростей: средней  - < > и мгновенных  -

 

Равномерным движением - называется такое движение, при котором за любые равные, сколь угодно малые промежутки времени Dt частица (МТ) проходит одинаковые пути - DS.

Вектор скорости равномерного движения определяется формулой (4.1):

(4.1)

Модуль вектора скорости равномерного движения - равен пути, проходимому в единицу времени.

Для неравномерного движения вводят понятие модуля средней скорости (среднюю путевую скорость) и вектора средней скорости.

Вектор средней скорости определяется соотношением:

;

(4.2)

Средняя путевая скорость равна:

(4.3)

Для прямолинейного движения:  и тогда

(4.4)

 

Чтобы определить скорость в некоторый момент времени t, необходимо чтобы промежуток времени движения Dt→0, тогда средняя скорость устремится к предельному значению, называемому мгновенной скоростью.

Вектор мгновенной скорости, это ВФВ, равная первой производной радиуса - вектора движущейся МТ по времени:

(4.5)

Вектор мгновенной скорости совпадает по направлению с касательной, проведенной  к траектории в данную точку, и направлен  в сторону движения.

Модуль вектора мгновенной скорости равен модулю первой производной радиус-вектора по времени (формула (4.6.)).

(4.6)

Но радиус-вектор в общем случае можно представить в виде векторной суммы трех составляющих (4.7)

(4.7)

Тогда вектор мгновенной скорости будет равен (4.8):

		(4.8)
	, ,	(4.9)

, , - проекции вектора мгновенной скорости на соответствующие координатные оси или ее компоненты.

Из формулы (4.9.)следует: компоненты скорости равны производным соответствующих координат по времени.

Зная модуль скорости в каждый момент времени, можно вычислить путь, пройденный МТ (частицей) за промежуток времени Δt=t₂-t₁. Разобьем этот промежуток времени на N малых промежутков, обозначим , ti- модуль скорости и время i -го участка, i пробегает значения от 1 до N. Тогда:

(4.10)

а весь пройденный путь:

(4.11)

Если Dt®0, то:

(4.12)

 

В математике выражение вида (4.13):

(4.13)

составленное для значений x, заключенных в пределах от x₁=a до x₂=b называют определенным интегралом от функции f(x) взятым по переменной x между нижним x₁=a и верхним x₂=b пределами.

Тогда длину пройденного пути можно представить так:

(4.14)

 

Определенный интеграл (4.14.) численно равен площади фигуры, ограниченной кривой V(t), осью t, и с боков прямыми: t = t _1, t = t ₂.

  Векторную функцию в виде графика изобразить нельзя.

Рис.4.3. Площадь заштрихованной полоски приближенно равна V_iΔt_i

 

Средняя скорость определяется формулой:

(4.15)

Аналогично вычисляются средние значения любых скалярных или векторных функций.

Если движение равномерное, то длина пройденного пути равна:

(4.16)