Вычисление определителя по методу Гаусса

 

     Существуют различные методы вычисления определителя. Рассмотрим один из них, а именно основанный на изложенный выше метод Гаусса.

    Обозначим определитель системы (4.1) через D. При приведении матрицы системы (4.1) к треугольному виду необходимо правую и левую части первого уравнения разделить на ведущий элемент . В этом случае определитель преобразованной системы будет . Последующие преобразования, связанные с исключением  из остальных уравнений системы, величину определителя не изменяют.

     На втором шаге, когда необходимо разделить обе части (преобразованного) второго уравнения на второй преобразованный элемент , определитель полученной системы будет . Операции по исключению  из уравнений системы вновь не изменяют величину определителя.

     На n- м шаге, осуществляя аналогичные действия, приходим к системе (4.1), определитель которой, очевидно, будет равен . Но матрица коэффициентов при неизвестных преобразованной системы – треугольная, с единицами по главной диагонали, поэтому ее определитель равен 1:  = 1, следовательно,

                               (5.1)

     Таким образом, значение определителя системы (4.1) получается как произведение ведущих элементов, используемых на каждом шаге.

 

Вычисление определителя по схеме Халецкого

 

     Рассмотрим систему (4.2), обозначив

b =                                                 (5.2)

     Представим матрицу А в виде произведения нижней треугольной матрицы В =  и верхней треугольной матрицы С =  с единичной диагональю:

А = ВС,                                       (5.3)

т.е.

В = ; С = ,

где

                  (5.4)

                  (5.5)

     Определитель матрицы А равняется

D = .                               (5.6)

     Заметим, что система (4.2) по схеме Халецкого решается по следующей цепи уравнений:

By = b,       Cx = y.                                 (5.7)

     Так как матрицы В и С – треугольные, искомые величины, можно вычислить по следующим формулам:

                   (5.8)

                   (5.9)

     Пример вычисления по схеме Халецкого дан в Методических указаниях.

 

Вычисление обратной матрицы

 

     Задачу вычисления обратной матрицы рассмотрим на примере квадратной матрицы размерности . В выражении (4.3) обозначим матрицу, обратную А, через W, т.е. в (4.3) полагаем  = , и раскроем выражение  = E (учитывая определение единичной матрицы) в таком виде:

 = .        (5.10)

     Легко проверить что выражение (5.10) есть запись следующих трех систем линейных уравнений относительно неизвестных элементов W:

,

,

;

 

,

,                           (5.11)

;

 

,

,

,

 

     Последовательно решая эти системы (например, методом Гаусса), поочередно вычисляем элементы столбцов обратной матрицы W.

     Данную схему вычисления элементов обратной матрицы можно распространить и для случая, когда исходная матрица А имеет размерность .

 

Решение системы линейных уравнений по обратной матрице

 

     Если исходная система линейных уравнений записана в форме (4.2): . Систему (4.2) умножим слева на обратную матрицу :

,                                     (5.12)

но , поэтому, обозначив матрицу, обратную А, через W, решение системы (4.1) можно получить следующим образом:

 

.                                             (5.13)