Наглядное представление операций над нечеткими множествами

Для нечетких множеств можно применить визуальное представление. Рассмотрим прямоугольную систему координат, на оси ординат которой откладываются значение mA(x), на оси абсцисс в произвольном порядке расположены элементы E. Если E по своей природе упорядочено, то этот порядок желательно сохранить в расположении элементов на оси абсцисс. Такое представление делает наглядными простые операции над нечеткими множествами.

Содержание

Пусть A и B - нечеткие множества на универсальном множестве E.

Говорят, что A содержится в B, если "x ÎE mA(x) > mB(x).

Обозначение: A Ì B.

Иногда используют термин "доминирование", то есть в случае если A Ì B, говорят, что B доминирует A.

Доминирует (А)	0,4	0,6	0,8	1
Содержится (В)	0,2	0,4	0,6	0,8

Равенство

A и B равны, если "xÎE mA(x) = mB (x).

Дополнение

Пусть M = [0,1], A и B - нечеткие множества, заданные на E. A и B дополняют друг друга, если

"xÎE mA(x) = 1 - m B(x).

Обозначение: B = или A =

*инвертируется принадлежность каждого элемента*

Объединение

Cоздается новое множество из элементов исходных множеств, причем для одинаковых элементов принадлежность берется максимальной.

mAÈ B(x) = max(mA(x), m B(x)).

 

Пересечение

AÇB - создается новое множество из одинаковых элементов исходных множеств, принадлежность которых берется минимальной.

mAÇB(x) = min(mA(x), mB(x)).

 

Разность

А - B = АÇ с функцией принадлежности:

mA-B(x) = mA Ç (x) = min(mA(x), 1 - m B(x)).

новое множество состоит из одинаковых элементов исходных множеств.

 

 

 Свойства операций И і З

Пусть А, В, С - нечеткие множества, тогда выполняются следующие свойства:

• - коммутативность;
• - ассоциативность;
• - рефлексивность (идемпотентность);
• - дистрибутивность;
• - теоремы де Моргана.

 

ПРИМЕРЫ

	x1	x2	x3	x4
A	0,4	0,2	0	1
B	0,7	0,9	0,1	1
C	0,1	1	0,2	0,9

 

Здесь:

1. AÌB, то есть A содержится в B или B доминирует A, С несравнимо ни с A, ни с B, то есть пари {A, С} и {A, С} - пары недоминируемых нечетких множеств.

2. A ¹ B ¹C.

3. = 0,6/ x1 + 0,8/x2 + 1/x3 + 0/x4;

= 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0,9/x3 + 0/x4.

4. AÇB = 0,4/x1 + 0,2/x2 + 0/x3 + 1/x4.

5. АÈС = 0,7/x1 + 0,9/x2 + 0,1/x3 + 1/x4.

6. А - С = АÇ = 0,3/x1 + 0,1/x2 + 0/x3 + 0/x4;

В - А = Ç С = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

7. А Å В = 0,6/x1 + 0,8/x2 + 0,1/x3 + 0/x4.

 

НЕЧЕТКИЕ ЧИСЛА

Нечетким числом называется произвольное нечеткое подмножество А, заданное на множестве действительных чисел R,

Пример: Есть два нечетких числа а - примерно 7 и b - примерно 10.

Значения ф-ции

А
5	6	7	8
0,3	0,8	1	0,7

 

В
9	10	11	12
0,7	1	0,6	0,8

 

 

Их сумма – также нечеткое множество – его носитель, это комб. сумм всех чисел вход. нес. множество А и В т.е. Uа+в = {14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}. Все здорово, но вот вопрос – как определить ф-цию принадлежности нового неч. числа по известным?

Строим таблицу в клетке – выражение Uai+bj/(ai+bj) = min (Uai, Ubj)/ (ai+bj)

 

Uai/a

Ubj/bj

0,3/5

0,8/6

1/7

0,7/8

0,7/9

0,3/14

0,7/15

0,7/16

0,7/17

1/10

0,3/15

0,8/16

1/17

0,7/18

0,6/11

0,3/16

0,6/17

0,6/18

0,7/19

0,8/12

0,3/17

0,8/18

0,8/19

0,7/20

 

 

 

 

 

Далее клетки им. равное значение суммы объ. по принципу Т-конормы (берем наибольшее из значений ф-ции принадлежности).

 

Uа+в = {0,3/14, 0,7/15, 0,8/16, 1/17, 0,8/18, 0,8/19, 0,7/20}

На практике применяют как правило треугольные и трапециевидные НЧ.

 

Ф-цияПр ТреНЧ имеет вид:  

 

Треуг. НЧ – такое норм. НЧ, Фпр котор. может быть задана треуг. Ф

его удоб. пред. в виде записи из трех чисел:  где а – модальное значение (1) альфа и бета – лев. и прав. коэфф. нечеткости.