Формула дифференцирования по времени

Формула дифференцирования по времени

   интеграла по подвижному объёму

Формулировка закона сохранения массы для

  неподвижного пространственного объёма

Формула Гаусса-Остроградского.

  Дивергенция вектора.

Дифференциальное уравнение неразрывности

  - следствие закона сохранения массы

Уравнение неразрывности для несжимаемой среды

В этом разделе курса мы будем

Формулировать так называемые универсальные, то есть

Верные для любых сред, физические «законы сохранения»

Выводить из этих законов уравнения, связывающие различные параметры движущейся среды.

А именно, мы будем рассматривать следующие законы:

1. закон сохранения массы;

2. закон сохранения количества движения (импульса);

3. закон сохранения момента количества движения;

4. закон сохранения энергии (I закон термодинамики);

Закон изменения энтропии (II закон термодинамики).

Закон сохранения массы (ЗСМ)

Этот закон формулируется следующим образом.

Масса  индивидуального объёма, т.е. объёма, состоящего из одних и тех же материальных частиц, постоянна:

или .

В МСС используется другая формулировка, в которую входит плотность .

Пусть в объеме  содержится масса , тогда  .

Для малого объёма  с массой  имеем: .

 Плотность в точке определяется формулой

Здесь  означает, что  стягивается к

Рассматриваемой точке.

Последняя формула записывается также в виде

 ,

(правая часть - просто отношение бесконечно малых величин, а не производная  по !).

Масса бесконечно малой частицы: .

Масса в объеме :

.

Математическая формулировка закона сохранения массы:

                             (2.1)

Обозначение   подчеркивает, что речь идет об индивидуальном объеме. При движении форма и величина  в общем случае меняются со временем.

2.2. Формула дифференцирования по  интеграла

По подвижному объёму

Требуется вычислить .

По определению производной по времени имеем

(прибавили и вычли в числителе член ).

Слагаемое №1: .

Слагаемое №2:    ,

                            

                              = -

Вычисление слагаемого №2

Фиг. 2.1. Подвижный объем в моменты  и .

 - сумма малых объемов ;  - цилиндр,

площадь его основания , высота ,

 - проекция  на нормаль ,   .

Интеграл по  приближенно равен следующей сумме

,

 - значение  в некоторой точке площадки .

При  и  суммы в левой и правой частях этого равенства переходят в интегралы по  и :

,

Тогда получаем выражение для слагаемого №2:

.

Итак, формула дифференцирования по  интеграла по подвижному объёму  такова:

             (2.2)

Формулировка закона сохранения массы (ЗСМ)

Для неподвижного пространственного объема

По формуле  (2.2)  при

.

Поэтому закон сохранения массы записывается в виде

.                             (2.3)

Соотношение (2.3) не содержит дифференцирования по  объемного интеграла. Поэтому в формуле (2.3) можно считать, что  - неподвижный пространственный объём - область пространства, через которую протекает среда.

    

Фиг.2.2. Неподвижный пространственный объем

Тогда , и закон сохранения массы:

                       (2.4)

Это формулировка закона сохранения массы для пространственного объёма: увеличение массы в пространственном объёме за единицу времени равно массе, которая за это время втекает в объём.

 

Координат.

Компоненты нормали к поверхности :

,  так как .

Формула Г- О  (другой вид):

    (2.5)

Если , то  (формула Г – О)

Или

                              (2.6)

Пояснение к формуле (2.6)

1. Скалярное произведение двух векторов  и  в декартовых координатах:

.

.

2. Дивергенция любого вектора  с компонентами  обозначается . В декартовых координатах  определяется формулой

.

Уравнение неразрывности

Из закона сохранения массы.

Вывод.

В законе сохранения массы (2.3)

Или                   

                                                           (2.10)

То есть соотношение

Задача

Дано поле скорости:

Формула дифференцирования по времени

   интеграла по подвижному объёму