Предмет механики сплошных сред.

Предмет механики сплошных сред.

Математическая модель среды или процесса

Сплошная среда. Поле некоторой величины

Пространственные (эйлеровы) и материальные (лагранжевы) координаты

Что называется законом движения сплошной среды?

Два подхода к описанию движения:

Лагранжев и эйлеров

Материальная (индивидуальная, полная) производная по времени

Формулы для вычисления ускорения по скорости

Линии тока и траектории.

Установившееся и неустановившееся движение

Предмет механики сплошных сред (МСС)

Предмет механики сплошных сред – изучение движения, равновесия, силовых взаимодействий различных сред, таких, как вода, нефть, воздух, другие газы и жидкости, а также твердые деформируемые среды, например металлы, грунт, строительные материалы, ткани живых организмов и так далее.

Разные по своим свойствам среды изучаются в одной науке, потому что поведение всех сред подчиняется одним и тем же физическим законам (законам сохранения массы, импульса, момента импульса, энергии, а также второму закону термодинамики).

МСС содержит общие основы следующих наук: гидромеханика, подземная гидромеханика, гидравлика, газовая динамика, сопротивление материалов, теория упругости, теория пластичности, магнитная гидродинамика и другие.

Основной метод МСС – математическое моделирование.

Математическая модель – это

Набор количественных параметров, характеризующих изучаемые процессы,

 2) уравнения и условия, которые позволяют рассчитать эти параметры.

Сплошная среда

Сплошная среда - это среда, заполняющая занятую ею область непрерывно, то есть в любом сколь угодно малом объеме этой области содержится масса.

Фиг. 1.1. (а) реальная среда; (б) модель - сплошная среда

 

 

В действительности все среды имеют дискретное строение, состоят из молекул размером , находящихся на расстоянии  друг от друга. Например, радиус молекулы водорода  см, а радиус ядра в 100 000 раз меньше. Расстояние между молекулами см, то есть в 1000 раз больше, чем размер самой молекулы.

В то же время расстояния  между частицами обычно много меньше размеров  изучаемых тел.

Если масштаб  изучаемого явления таков, что ,

То можно использовать модель сплошной среды

 

Поле некоторой величины.

Если некоторая величина задана во всех точках рассматриваемой области, то мы говорим о поле этой величины. Например, поле скорости - это совокупность скоростей всех точек среды в рассматриваемой области.

Фиг. 1.2. а) материальная точка и ее скорость;

(б) поле скорости сплошной среды

Фиг. 1.3. Поле скорости при обтекании здания ветром

Пространственные и материальные координаты.

Закон движения сплошной среды.

Итак, при движении среды пространственные координаты ее индивидуальных точек являются функциями времени и лагранжевых координат точки:

                       (1.1)

По скоростям.

Ускорение  индивидуальной точки есть скорость изменения ее скорости со временем, то есть

 ,

где  - индивидуальная производная скорости по времени.

Если скорость задана по Лагранжу, то есть, , то

 .

Если скорость задана по Эйлеру, то есть, , то

Для проекций ускорения на координатные оси  декартовой системы это равенство дает:

Если декартовы координаты обозначены , то формулы для компонент ускорения имеют вид

Линии тока и траектории.

Линия тока – это линия, которая определяется для фиксированного момента времени и обладает тем свойством, что в каждой её точке направление касательной совпадает с направлением вектора скорости среды. Отметим, что в рассматриваемый момент времени в разных точках линии тока находятся разные частицы.

                                   Фиг. 1.1. Линии тока.

Траектория – это путь индивидуальной частицы; в каждой точке траектории направление касательной к траектории совпадает с направлением вектора скорости. Здесь имеется в виду скорость одной и той же частицы в разные моменты времени, в то время как, говоря о линии тока, мы рассматриваем скорости разных частиц в один и тот же момент времени.

Пример. Поступательное движение стакана с жидкостью по криволинейной траектории.

Предмет механики сплошных сред.