Расчёт валов на совместное действие изгиба и кручения

 

Валы редуктора нагружены силами, действующими в зацеплениях передач, и испытывают деформации изгиба и кручения. Для упрощения расчётов принять, что силы являются сосредоточенными, приложены в серединах венцов зубчатых колёс и направлены по нормалям к профилям зубьев в полюсах зацепления. При расчёте их раскладывают на составляющие, действующие вдоль координатных осей. Схема редуктора и усилий, действующих в передачах, приведена на рис. 4.11.

 

 

Рис. 4.11

Усилие действующие в передачах:

Окружные:

F_t1 = ;                                   (4.163)

F_t1 =  = 1,57 кН;

F_t2 = ;                                   (4.164)

F_t2 =  = 1,46 кН;

F_t3 = ;                                   (4.165)

F_t3 =  = 8,77 кН;

F_t4 = ;                                   (4.166)

F_t4 =  = 3,51 кН;

Радиальные:

F_r1 = F_t1 ^. ;                           (4.167)

F_r1 = 1,57 ^.  = 0,59 кН;

F_r2 = F_t2 ^. ;                            (4.168)

F_r2 = 1,46 ^.  = 0,55 кН;

F_r3 = F_t3 ^. tgα ;                              (4.169)

F_r3 = 8,77 ^. 0,36 = 3,19 кН;

F_r4 = F_t4 ^. tgα ;                              (4.170)

F_r4 = 3,51 ^. 0,36 = 1,28 кН;

Осевые:

F_a1 = F_t1 ^. tgβ ;                              (4.171)

F_a1 = 1,57 ^. tg15.22 = 0,43 кН;

F_a2 = F_t2 ^. tgβ ;                              (4.172)

F_a2 = 1.46 ^. tg15.22 = 0,40 кН;

F_a3 = 0;

F_a4 = 0;

где: α = 20 ⁰, β – угол наклона линии зуба.

Последовательность расчета рассмотрим на примере промежуточного вала, подвергающегося действию наибольшего числа сил.

Реакции в опорах вала (подшипниках) от сил, действующих в плоскости XOZ вдоль оси Z (рис. 4.12):

Σ M_a = 0; F_t2 ^. l₁ – F_t3 ^. (l₁ + l₂) + R_∆V ^. (l₁ + l₂ + l₃) = 0;                    (4.173)

 R_∆V = ;       (4.174)

R_∆V =  = 6,49 кН;

Σ M_∆ = 0; F_t3 ^. l₃ – F_t2 ^. (l₂ + l₃) + R_AV ^. (l₁ + l₂ + l₃) = 0;                   (4.175)

 R_AV = ;          (4.176)

R_AV =  = 1,1 кН;

Реакции в опорах вала от сил, действующих в плоскости XOY вдоль осей X и Y:

Σ M_А = 0; F_r2 ^. l₁ – F_a2 ^.  + F_r3 ^. (l₁ + l₂) - R_∆H ^. (l₁ + l₂ + l₃) = 0;    (4.177)

R_∆H = ; (4.178)

R_∆H =  = 2,39 кН;

Σ M _∆ = 0;

- F_r3 ^. l₃ – F_r2 ^. (l₂ + l₃) – F_a2 ^.  + R_AH ^. (l₁ + l₂ + l₃) = 0;                 (4.179)

R_АH = ; (4.180)

R_AH =  = 1,35 кН;

Суммарные реакции:

R_A = ;                         (4.181)

R_A = = 1,75 кН;

R_∆ = ;                          (4.182)

R_∆ = = 6,91 кН;

Изгибающие моменты и эпюры, обусловленные силами, действующими в плоскостях XOZ;

участок вала АВ:

М_И = R_AV ^. X;                              (4.183)

x = 0; M_AV = R_AV ^. 0 = 0 Н^. мм;

x = l₁; M_BV = R_AV ^. l₁;                   (4.184)

M_BV = 1,1 ^. 59,5 = 65,65 Н^. мм;

участок вала ВС:

М_И =R_AVX – F_t2 ^. (x – l₁);            (4.185)

x = l₁; M_BV = R_AV^. l₁ – F_t2 ^. (l₁ – l₁) = R_AV ^. l_1; (4.186)

M_BV = 1,1 ^. 59,5 = 65,65 Н^. мм;

x = l₁ + l₂; M_CV = R_AV ^. (l₁ + l₂) – F_t2 ^. l₂;     (4.187)

M_CV = 1,1 ^. (59,5 + 148) – 1,46 ^. 148 = 12,57 Н^. мм;

участок вала CD:

M_И = R_AV ^. X – F_t2 ^. (x – l₁) + F_t3 ^. (x – l₁ – l₂);                               (4.188)

x = l₁ + l₂; M_CV = R_AV ^. (l₁ + l₂) – F_t2 ^. l₂; (4.189)

M_CV = 1,1 ^. (59,5 + 148) –1,46^. 148 = 12,57 Н^. мм;

x = l₁ + l₂ + l₃;

M_∆V = R_AV^. (l₁ + l₂ + l₃) – F_t2 ^. (l₂ + l₃) + F_t3 ^. l₃;                             (4.190)

M_∆V = 1,1^. (59,5 + 148 + 59,5) – 1,46 ^. (148 + 59,5) + 8,77 ^.59,5 = 512,9 Н^.мм;

Изгибающие моменты и эпюры, обусловлены силами, действующими в плоскости XOY:

участок вала АВ:

М_И =R_AH ^. X; x = 0; M_AH = R_AH ^. 0 = 0 Н^. мм;

x = l₁; M^’_BH = R_AH ^. l₁;                  (4.191)

M_BH = 1,35 ^. 59,5 = 80,53 Н^. мм;

участок вала ВС:

М_И =R_AHX – F_r2(x – l₁) – F_a2^. ; (4.192)

x = l₁; M^”_BH = R_AH^. l₁ – 0 – F_a2^. ; (4.193)

M^”_BH = 1,35 ^. 59,5 – 0 – 0,4 ^.  = 23,48 Н^. мм;

x = l₁ + l₂; M_CH = R_AH ^. (l₁ + l₂) – F_r2 ^. l₂ – F_a2^. ;                        (4.194)

M_CH = 1,35 ^. (59,5 + 148) – 0,55 ^. 148 – 0,4 ^.  = 142,16 Н^. мм

участок вала CD:

M_И = R_AH ^. X – F_r2 ^. (x – l₁) – F_a2^. - F_r3 ^. (x – l₁ – l₂);                 (4.195)

x = l₁ + l₂; M_CH = R_AH ^. (l₁ + l₂) – F_r2 ^. l₂ – F_a2^. ;                        (4.196)

M_CH = 1,35 ^. (59,5 + 148) – 0,55 ^. 148 – 0,4 ^.  = 142,16 Н^. мм;

x = l₁ + l₂ + l₃;

M_∆H = R_AH^. (l₁ + l₂ + l₃) – F_r2 ^. (l₂ + l₃) – F_a2^.  - F_r3 ^. l₃;               (4.197)

M_∆H = 1,35 ^. (59,5 + 148 + 59,5) – 0,55 ^. (148 + 59,5) – 0,4 ^.  

- 3,19 ^. 59,5 = 0 Н^. мм;

По найденным значениям изгибающих моментов строятся эпюры (см. рис. 4.12)

 

Рис. 4.12

 

Суммарные изгибающие моменты:

M_B = ;                       (4.198)

M_B =  = 103,9 Н^. мм;

M_C = ;                      (4.199)

M_C =  = 142,78 Н^. мм;

Эквивалентный момент по третьей теории прочности:

M_C > M_B: следовательно – M_ЭКВ = ;                            (4.200)

M_ЭКВ =  = 253,63 Н^. мм;

Диаметр вала в опасном сечении:

d = ;                             (4.201)

d =  = 3,48 мм;

Допускаемое напряжение [σ_И] выбирают невысоким, чтобы валы имели достаточную жесткость, обеспечивающую нормальную работу зацепления и подшипников. Валы рекомендуется изготавливать из сталей 35, 40, 45, Ст 5, Ст 6, для которых [σ_И] = (50 – 60) МПа.

Вычисленное значение диаметра вала d в опасном сечении сравнить с диаметром d_K под колесом, найденным при ориентировочном расчете (п. 4.4.2.). Должно выполняться условие: d_K ≥ d. При невыполнении этого условия следует принять d_K = d и вновь определить размеры вала (п. 4.4.2.).

условие:

d_K ≥ d,

где: d_K = 35 мм,

35 > 3,48.

Условие выполняется.

 

Расчет подшипников качения

 

В основу расчета подшипников качения положены два критерия: по остаточным деформациям и усталостному выкрашиванию. При частоте вращения кольца n ≤ 10 об/мин критерием является остаточная деформация, и расчет выполняют по статической грузоподъемности C_or; при n > 10 об/мин критерием является усталостное выкрашивание дорожек качения и расчет выполняют по динамической грузоподъемности C_r. Суждение о пригодности подшипника выносится из сопоставления требуемой и базовой грузоподъемностей (C_тр ≤ С_r) или долговечностей (L_10h ≥ [L_10h]).

Последовательность расчета подшипников качения рассмотрим на примере промежуточного вала:

Частота вращения n₂ = 239,5 об/мин;

Базовая долговечность подшипника [L_10h] = 20000 ч;

Диметр посадочных поверхностей вала d_п = 35 мм;

Действующие силы:

радиальные:

F_r1 = R_A = 0,59 кH; и F_r2 = R_Д = 0,55кН;

осевая:

F_a = 0,43 кН;

Учитывая диаметр посадочных поверхностей вала и характер действующей нагрузки, выбираем радиально – упорный шариковый подшипник 46307, для которого величины статической и динамической грузоподъемностей:

С_or = 24,7 кН; C_r = 42,6 кН;

Схема установки подшипников и действующих сил представлена на рис. 4.13:

 

Рис. 4.13

Выбираем значения коэффициентов равными: X = 0,41; Y = 0,87; e = 0,68.

Осевые составляющие от радиальных нагрузок:

S₁ = e · F_r1;                                 (4.204)

S₁ = 0,68 · 590 = 401,2 Н;

S₂ = e · F_r2;                                 (4.205)

S₂ = 0,68· 550 = 374 Н;

Суммарные осевые нагрузки на подшипник:

т.к. S₁ > S₂, F_a >0, то

F_a1 = S₁ = 401,2 H; F_a2 = S₁ + F_a = 401,2 + 430 = 831,2 Н;

Для опоры, нагруженной большей осевой силой, определяем отношение:

Эквивалентная динамическая нагрузка правой опоры:

P₂ = (V · X · F_r2 + Y · F_a2) · K_δ · K_T; (4.206)

где: K_δ = 1,3 – коэффициент безопасности;

K_T = 1 – температурный коэффициент;

P₂ = (1·0,41·550 + 0,87·831,2) ·1, 3 ·1 = 1233,23 Н;

Эквивалентная динамическая нагрузка правой опоры:

P₁ = (V·X·F_r1 + Y·F_a1) ·K_δ ·K_T;    (4.207)

P₂ = (1·0, 41·590 + 0, 87·401,2) ·1, 3 ·1 = 768, 22 Н;

Для более нагруженной опоры (правой) определяем долговечность выбранного подшипника 46307:

L_10h =  ;               (4.208)

L_10h = ;

Так как рассчитанная (требуемая) долговечность L_10h больше базовой [L_10h] (2908990 > 20000), то выбранный подшипник пригоден для данных условий работы.