Колебательные движения. Основные характеристики колебательного процесса.

Колебаниями, или колебательными движениями, называются движения, обладаю­щие той или иной степенью повторяемости во времени. По своей физической природе ко­лебания весьма разнообразны. К ним относятся механические колебания (качание маятни­ка, колебания струны, стержней и т.д.), электромагнитные колебания и др. Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяю­щихся в процессе колебания, повторяются через одинаковый промежуток времени. Пе­риодом колебаний T называется тот наименьший промежуток времени, по истечении ко­торого повторяются значения всех физических величин, характеризующих колебательное движение точки. За это время совершается одно полное колебание. Частотой периодиче­ских колебаний ν называется число полных колебаний, совершаемых за единицу време­ни:

                                (1.1)

 

Простейшим типом периодических колебаний являются гармонические (синусои­дальные) колебания.

В этом случае смещение колеблющейся точки происходит по гармоническому за­кону:

                (1.2)

 

Величина х₀ (наибольшее значение отклонения точки от положения равновесия) называется амплитудой колебаний, - круговая (или циклическая) частота коле­баний, - начальная фаза наблюдений.

Дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет величина х, имеет сле­дующий вид:

                        (1.3)

Если на колеблющееся тело действует сила трения, то энергия системы, а вместе с ней и амплитуда колебаний убывают (энергия расходуется на работу против сил трения и превращается в тепло). Происходит постепенное затухание колебаний (рис. 1). Затухаю­щие колебания не являются гармоническими. При рассмотрении негармонических коле­баний, строго говоря, уже нельзя употреблять термин "амплитуда", он имеет определен­ный смысл только для гармонических колебаний. Однако этот термин применяют и к не­гармоническим колебаниям, понимая под амплитудой наибольшее значение, которого достигает смещение в течение одного периода колебаний. Закон убывания амплитуды ко­лебаний зависит от характера сил трения, действующих на колеблющееся тело.

 

Наиболее простым и вместе с тем распространенным является случай, когда сила трения f пропорциональна скорости колеблющегося тела:

                              (1.4)

В этом случае уравнение движения имеет следующий вид:

                           (1.5)

где т - степень "сопротивления" системы внешним воздействиям, ее инертность (масса - в механике, индуктивность - в электромагнитных явлениях);

b - степень замедления движения из-за необратимой диссипации энергии (коэффици­ент трения, активное сопротивление);

k - степень стремления к положению равновесия (коэффициент упругости в механи­ке, величина обратная электроемкости в электричестве);

F - внешняя (вынуждающая) сила.

Если F постоянна или отсутствует, то колебания называются собственными или свободными. Основные параметры колебаний определяются свойствами самой колеба­тельной системы, за исключением амплитуды, которая задается начальной энергией. Ре­шение уравнения (1.5) имеет вид:

 

(1.6)

где  - коэффициент затухания;

 - циклическая частота свободных колебаний системы в отсутствии трения;

x ₀, φ₀ – константы, зависящие от начальных условий колебательного процесса.

Амплитуда затухающих колебаний убывает с течением времени по экспоненциаль­ному закону:

                                 (1.7)

Если в некоторый момент времени t ₁ амплитуда колебаний имеет значение, , то через период T ее значение будет . Отношение обоих зна­чений равно:

                                     (1.8)

Таким образом, отношение значений двух последовательных амплитуд колебаний:

           (1.9)

есть величина постоянная, называемая декрементом затухания. Натуральный логарифм этого отношения:

                    (1.20)

 

называется логарифмическим декрементом затухания.

Логарифмический декремент затухания - величина, обратная числу колебаний N, по истечении которых амплитуда уменьшается в е раз:  (e – основание натуральных логарифмов).

Промежуток времени τ, необходимый для этого, называется временем ре­лаксации:

                  (1.21)

В зависимости от величины τ колебания в контуре получается слабо или сильно зату­хающими. Чем меньше трение и чем больше т, тем меньше затухание, то есть тем ближе кривая (1.6) приближается к синусоиде (1.2). При значительном возрастании трения декре­мент затухания так же, как и период:

                      (1.22)

увеличивается.

При выражение (1.22) обращается в бесконечность и движение из колебательного превращается в апериодическое (рис. 2).

В настоящей работе определение параметров затухающего колебательного процесса про­водится для электрического колебательного контура, состоящего из катушки индуктивно­сти L и емкости С.