Тема: Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.

Лекция

Тема: Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И.Ньютона и Г.Лейбница.

Механическое истолкование производной было впервые дано И.Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Лейбниц пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной уравнением.

Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к ее траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на ее орбите сводится к определению направления касательной к кривой.

Введём понятие производной.

Пусть  – некоторая функция, определенная на промежутке (a; b) и  - некоторая фиксированная точка этого промежутка. Возьмем произвольное значение x из промежутка (a; b) и составим разность x - . Разность x -  называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) функции  в точке  и обозначают :

= x - (1)

Приращением функции  в точке  называют разность между значением функции в точке и значением функции в точке  и обозначают :

=    (2).

Т.к. точка  считается фиксированной, приращением функции  является функцией приращения аргумента .

Составим отношение

,

которое также будет функцией приращения аргумента ; и рассмотрим предел этого выражения при , стремящемся к нулю:

                                                    .                 

Если этот предел существует, то говорят, что функция  имеет производную в точке , и пишут:

(3).

Число  называется производной функции в точке .

Нахождение производной называется дифференцированием функции.

Если существует предел (3), также говорят, что функция   дифференцируема в точке .

Если функция  дифференцируема в каждой точке промежутка (a; b), то говорят, что она дифференцируема в промежутке (a; b).

Производная функции , дифференцируемой в промежутке (a; b), сама является функцией x.

Правило нахождения производной

Чтобы вычислить производную функции в точке  нужно:

1. найти разность .

2. найти отношение .

3. найти предел этого отношения при :

Производная – это «новая» функция, произведенная от данной функции по указанному правилу.

Определим производные следующих функций:

а) линейной функции

б) квадратичной функции

в) кубической функции

Решение:

а)          

  т.к.

1.

2.

3. .

б)

т.к.

1.

2.

3. .

в)

т.к.

1.

2.

3.

Контрольные вопросы:

Лекция

Тема: Производная. Понятие о производной функции, её геометрический и физический смысл. Уравнение касательной к графику функции.

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводит к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Метод дифференциального исчисления был создан в XVII и XVIII вв. С возникновением этого метода связаны имена двух великих математиков – И.Ньютона и Г.Лейбница.

Механическое истолкование производной было впервые дано И.Ньютоном. Оно заключается в следующем: скорость движения материальной точки в данный момент времени равна производной пути по времени.

Лейбниц пришел к открытию дифференциального исчисления при решении задачи о построении касательной к любой кривой, заданной уравнением.

Решение этой задачи имеет большое значение. Ведь скорость движущейся точки направлена по касательной к ее траектории, поэтому определение скорости снаряда на его траектории, скорости любой планеты на ее орбите сводится к определению направления касательной к кривой.

Введём понятие производной.

Пусть  – некоторая функция, определенная на промежутке (a; b) и  - некоторая фиксированная точка этого промежутка. Возьмем произвольное значение x из промежутка (a; b) и составим разность x - . Разность x -  называют приращением независимой переменной (или приращением аргумента) функции  в точке  и обозначают :

= x - (1)

Приращением функции  в точке  называют разность между значением функции в точке и значением функции в точке  и обозначают :

=    (2).

Т.к. точка  считается фиксированной, приращением функции  является функцией приращения аргумента .

Составим отношение

,

которое также будет функцией приращения аргумента ; и рассмотрим предел этого выражения при , стремящемся к нулю:

                                                    .                 

Если этот предел существует, то говорят, что функция  имеет производную в точке , и пишут:

(3).

Число  называется производной функции в точке .