Моды, распространяющиеся в оптических волноводах

В общем случае распространение электромагнитных волн описывается системой уравнений Максвелла в дифференциальной форме:

                                                    (2.4.1)

где - плотность электрического заряда,  и  – напряженности электрического и магнитного полей соответственно, – плотность тока,  и  – электрическая и магнитная индукции.

Если представить напряженность электрического и магнитного поля  и  при помощи преобразования Фурье [5]:

,                                   (2.4.2)

то волновые уравнения примут вид:

,                                                (2.4.3)

где  - оператор Лапласа.

Световод можно представить идеальным цилиндром с продольной осью z, оси х и у в поперечной (ху) плоскости образуют горизонтальную (xz) и вертикальную (xz) плоскости. В этой системе существуют 4 класса волн (Е и Н ортогональны):

поперечные Т: E _z = Н _z = 0; Е = Е _y; Н = Н _x;

электрические Е: Е _z = 0, Н _z = 0; Е = (Е _y, Е _z) - распространяются в плоскости (yz); Н = Н _x;

магнитные Н: Н _z = 0, Е _z = 0; Н = (Н _x, Н _z) - распространяются в плоскости (xz), E = E _z;

смешанные ЕН или НЕ: Е _z = 0, Н _z = 0; Е = (Е _y, Е _z), Н = (Н _x, Н _z) - распространяются в плоскостях (xz) и (yz).

При решении системы уравнений Максвелла удобнее использовать цилиндрические координаты (z, r, φ), при этом решение ищется в виде волн с компонентами E _z, Н _z вида:

,                        (2.4.4)

где  и  - нормирующие постоянные,  - искомая функция,  - продольный коэффициент распространения волны.

Решения для  получаются в виде наборов из m (появляются целые индексы m) простых функций Бесселя  для сердцевины и модифицированных функций Ханкеля  для оболочки, где  и  - поперечные коэффициенты распространения в сердцевине и оболочке соответственно,  - волновое число. Параметр  определяется как решение характеристического уравнения, получаемого из граничных условий, требующих непрерывности тангенциальных составляющих компонент E _z и Н _z электромагнитного поля на границе раздела сердцевины и оболочки. Характеристическое уравнение, в свою очередь, дает набор из n решений (появляются целые индексы n) для каждого целого m, т.е. имеем  собственных значений, каждому из которых соответствует определенный тип волны, называемый модой. В результате формируется набор мод, перебор которых основан на использовании двойных индексов.

Условием существования направляемой моды является экспоненциальное убывание ее поля в оболочке вдоль координаты r, что определяется значением поперечного коэффициента распространения в оболочке. При = 0 устанавливается критический режим, заключающийся в невозможности существования направляемой моды, что соответствует [5]:

.                                                                   (2.4.5)

Последнее уравнение имеет бесчисленное множество решений [5]:

(2.4.6)

Введем величину, называемую нормированной частотой V, которая связывает структурные параметры ОВ и длину световой волны, и определяемую следующим выражением:

,                                        (2.4.7)

При = 0 для каждого из решений уравнения (2.4.5) имеет место критическое значение нормированной частоты  (m = 1, 2, 3…, n = 0, 1, 2, 3…):

 и т.д.

Для моды HE₁₁ критическое значение нормированной частоты . Эта мода распространяется при любой частоте и структурных параметрах волокна и является фундаментальной модой ступенчатого ОВ. Выбирая параметры ОВ можно добиться режима распространения только этой моды, что осуществляется при условии:

                                              (2.4.8)

Минимальная длина волны, при которой в ОВ распространяется фундаментальная мода, называется волоконной длиной волны отсечки. Значение определяется из последнего выражения как:

                                           (2.4.9)