Интерполяционный многочлен Ньютона

Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов в общем виде выглядит следующим образом:

 

, (3.3.1)

 

Пусть в соответствии с вариантом задания исходная функция задана в виде значений в диапазоне ячеек B 7: C 10, рис. 3.3.1.

Примечание: так как рассматривается формула Ньютона для равноотстоящих узлов, значения исходной таблицы соответствующим образом изменены.

Тогда выражение 3.3.1 примет вид

, (3.3.2)

 

В ячейках M 19, O 19 и Q 19 вычислим конечные разности D ¹ ₀, D ² ₀ и D ³ ₀ для интерполяционного многочлена Ньютона N ₃ (x) для равноотстоящих узлов по формуле 3.2.2, как показано на рис. 3.3.1.

 

Рис. 3.3.1

В ячейку J 20 запишем арифметическое выражение интерполяционного многочлена Ньютона N ₃ (x) для равноотстоящих узлов по формуле 3.2.2, при этом значения аргументов x ₀, x ₁, x ₂ и y ₀ взяты из ячеек диапазона B 7: B 9 и ячейки C 7, в абсолютной адресации, а значение аргумента x взято из ячейки A 20 в относительной адресации

=$ C $7+$ M $19/$ B $11*(A 20-$ B $7)+$ O $19/(2*$ B $11^2)*(A 20-$ B $7)*(A 20-$ B $8)+$ Q $19/(6*$ B $11^3)*(A 20-$ B $7)*(A 20-$ B $8)*(A 20-$ B $9),

кроме того значение величины h, которая является шагом в исходной таблице равноотстоящих значений x ₀, x ₁, x ₂ и x ₃ вычисляется, например, в ячейке B 11, как =B8-B7 и берётся в абсолютной адресации.

Полученное в ячейке J 20 значение -14.25 (исходная таблица изменена) и есть результат вычисления интерполяционного полинома Ньютона N ₃ (x) для равноотстоящих узлов для аргумента x = 0.

Скопируем закон преобразования информации ячейки J 20 до J 37 включительно.

Появившиеся в диапазоне ячеек J 20: J 37 значения, и есть значения интерполяционного полинома Ньютона N ₃ (x) для равноотстоящих узлов, вычисленные на спектре значений аргумента x диапазона ячеек A 20: A 37, (x Î [0;8.5]), рис. 3.3.1.

Полное совпадение значений диапазонов ячеек B 20: B 37 (канонический полином P ₃ (x)), D 20: D 37 (интерполяционный полином Лагранжа L ₃ (x) в среде Excel), I 20: I 37 (интерполяционный полином Лагранжа L ₃ (x) в среде VBA) и J 20: J 37 (интерполяционный полином Ньютона N ₃ (x) для равноотстоящих узлов в среде Excel) является доказательством правильности полученного решения варианта задания.

Совпадение значений ячеек B 39, D 39, I 39 и J 39 подтверждает правильность вычислений значений полиномов P ₃ (x), L ₃ (x), N ₃ (x)  = 10.64, при x = 2.372, рис. 3.3.1.

Для вычисления значений интерполяционного полинома Ньютона N ₃ (x) для равноотстоящих узлов в среде VBA необходимо предварительно создать модуль VBA

 

Function Newtonn(x As Double, xe As Variant, ye As Variant)

n = Application.Count(xe)

Dim D() As Variant

ReDim D(n, n) As Variant

For i = 1 To n - 1

D(i, 1) = ye(i + 1) - ye(i)

Next i

'

For j = 2 To n - 1

For i = 1 To j

D(i, j) = D(i + 1, j - 1) - D(i, j - 1)

Next i

h = xe(2) - xe(1)

Next j

ne = ye(1)

For i = 1 To n - 1

p = 1

For j = 1 To i

p = p * (x - xe(j)) / (j * h)

Next j

ne = ne + p * D(1, i)

Next i

Newton n = ne

End Function

Затем, установив курсор в ячейке K 20, с помощью мастера функций f_x вызвать модуль Newtonn и в появившемся окне Аргументы функции установить значения как показано на рис. 3.3.2.

Рис. 3.3.2

Причём, значения исходной таблицы $B$7:$B$10 и $C$7:$C$10 необходимо брать в абсолютной адресации.

После нажатия кнопки ОК - скопировать закон преобразования информации ячейки K 20 до ячейки K 37 включительно и в ячейку K 39.

Появившиеся в диапазоне ячеек K 20: K 37 значения, и есть значения интерполяционного полинома Ньютона N ₃ (x) для равноотстоящих узлов, вычисленные в среде VBA на спектре значений аргумента x диапазона ячеек A 20: A 37, (x Î [0;8.5]), рис. 3.3.2.

Полное совпадение значений диапазонов ячеек B 20: B 37 (канонический полином P ₃ (x)), D 20: D 37 (интерполяционный полином Лагранжа L ₃ (x) в среде Excel), I 20: I 37 (интерполяционный полином Лагранжа L ₃ (x) в среде VBA), J 20: J 37 (интерполяционный полином Ньютона N ₃ (x) для равноотстоящих узлов в среде Excel) и K 20: K 37 (интерполяционный полином Ньютона N ₃ (x) для равноотстоящих узлов в среде VBA) является доказательством правильности полученного решения варианта задания.

Совпадение значений ячеек B 39, D 39, I 39, J 39 и K 39 подтверждает правильность вычислений значений полиномов P ₃ (x), L ₃ (x), N ₃ (x)  = 10.64, при x = 2.372, рис. 3.3.1.