П.6.7. Поверхности второго порядка.

Пусть в пространстве задана прямоугольная декартова система координат 0xyz. Поверхность называется поверхностью второго порядка, если она задается уравнением второй степени относительно текущих координат х, у, z.

1.Сферой называется множество точек в пространстве, удаленных от данной точки (называемой центром) на одно и то же расстояние (называемое радиусом).

– уравнение сферы с центром в точке S(a, b, c) и радиусом R. Если центр совпадает с началом координат 0(0, 0, 0), то получаем

– каноническое уравнение сферы.

 

Эллипсоиды.

Эллипсоидом называется поверхность, задаваемая в декартовой системе координат уравнением

Числа а, b, с  называются полуосями эллипсоида.

Рис.1. Эллипсоид.

Цилиндрические поверхности.

Цилиндрической поверхностью называется множество всех прямых, пересекающих данную линию L и параллельных данной прямой l. Линия L называется направляющей для цилиндрической поверхности, а прямые, составляющие ее (параллельные прямой l), называются ее образующими.

Итак, данная цилиндрическая поверхность в пространстве задается уравнением: F(x, у) = 0 (как и ее направляющая L в плоскости 0ху).

В пространстве 0xyz линия L будет задаваться системой уравнений:

 

Нас интересуют цилиндрические поверхности второго порядка, следовательно, их направляющими будут: окружность, эллипс, гипербола, парабола. Сами поверхности будут называться соответственно: круговым цилиндром, эллиптическим цилиндром, гиперболическим цилиндром и параболическим цилиндром.

Эллиптический цилиндр:	Параболический цилиндр:	Гиперболический цилиндр:
Рис.2. Циллиндрические поверхности.

 

Конические поверхности.

Коническая поверхность — поверхность с вершиной  и направляющей , содержащая все точки всех прямых, проходящих через точку и пересекающихся с кривой .

Каноническое уравнение круговой конической поверхности в декартовых координатах .

 

Рис.3. Коническая поверхность.

 

Гиперболоиды.

Однополостным гиперболоидом называется поверхность, задаваемая в некоторой декартовой системе координат уравнением

Двуполостным гиперболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой декартовой системе координат уравнением:

:	Однополостной гиперболоид:	Двуполостной гиперболоид

Рис.4. Гиперболоиды.

 

Параболоиды.

Эллиптическим параболоидом называется поверхность, определяемая в некоторой декартовой системе координат уравнением:

,

 где р и q одного знака.

Рис.5. Параболоид эллиптический.

Гиперболическим параболоидом называется поверхность, уравнение которой имеет вид:

где р и q одинакового знака.

Рис.6. Параболоид гиперболический.

 

Задание на  дом по теме

Прямые на плоскости.

 

1.Составить уравнение прямой, если прямая проходит через точку М(2;1) и имеет угловой коэффициент к=5.

2.Уравнение прямой, проходящей через точки (1,0) и (-3,5) имеет вид:

3.Найти точку пересечения и угол между прямыми:

4.Найти расстояние от точки М(1;3) до прямой

 

Задание на дом.

1.	Вычислить определитель:
2.	Пусть А ={0;2;11;14} В={ -2;0;1;2;}. Найти АÈВ, АÇВ, А\В, В\А
3.	Найти произведение АВ, если , .
4.	Даны векторы (1;1) и (5;7). Найти скалярное произведение
5.	Определить площадь треугольника, построенного на векторах =(0;0;1), =(2;0;1).
6.	Уравнение прямой, проходящей через точки  и  имеет вид…
7.	Уравнение определяет поверхность в пространстве, которая называется…

 

Литература.

1. Данко П.Е. и др. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2-х томах. – М.: Высшая школа, 2010.

2. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: – М.: Айрис-пресс, 2007. -608 с.: ил. –(Высшее образование), ISBN 5-8112-2893-7, 978-5-8112-2893-5.

Интернет-ресурсы.

1. Математика для заочников http://www.mathprofi.ru

2. Электронные учебные пособия http://book.ru-deluxe.ru

3. Электронная библиотечная система http://www.biblioclub.ru