Применение определённого интеграла и графической программы Graph в экономических расчетах

    Интегральное исчисление дает богатый математический аппарат для моделирования и исследования процессов, происходящих в экономике. Интегральное исчисление используют для прогнозирования материальных затрат, нахождения потребительского излишка, определения объема выпуска продукции, определения экономической эффективности капитальных вложений. И это далеко не полный список приложений. Определённый интеграл является не только мощным средством решения прикладных экономических задач, но и универсальным языком всей экономической теории, создает новые возможности для экономических исследований.Остановимся на нескольких примерах использования интегрального исчисления в экономике с использованием графической программы Graph, для того чтобы проанализировать правильность решения экономических задач и наглядно проиллюстрировать геометрический и экономический смысл определённого интеграла.

Задачи об объёме продукции

Экономический смысл определенного интеграла, выражающий объем произведенной продукции по известной функции производительности труда был рассмотрен раньше:

,

где f (t) - производительность труда в момент времени t,

[0,T] - рассматриваемый промежуток времени.

Задача 1. Найдите объём продукции, произведенной рабочим предприятия «Alzes» за три часа рабочего дня, если производительность труда характеризуется следующей функцией:

Решение

Определение объёма произведенной продукции сводится к вычислению определенного интеграла:

(ед.пр.)

Обратимся к графической программе «Graph» и проверим, правильно ли решена задача.

Рис.14 Решение задачи 1 в программе Graph

Введем функцию, на экране появляется её график. Введем ограниченный диапазон и рассчитаем площадь заданной функции, получим:

 

Исходя из вышеописанного, можно сделать вывод: ответ совпал, решение верно.

Ответ: объём продукции 60 единиц за 3 часа работы.

Задача 2. Производительность труда бригады, работающей на заводе «Фагот» выражается функцией . Необходимо определить выработку: а) за весь рабочий день;

              б) за четвертый час работы;

      в) за последний час работы, если продолжительность рабочего дня составляет 7 часов.

Проанализировать полученные результаты.

Решение:

Исходя из определения экономического смысла определённого интеграла, объём выработанной продукции предприятием с производительностью труда f=f(t) за интервал времени [0;T] можно вычислить по формуле:  [2].

а) Объём продукции за весь рабочий день (7 часов) составит:

Обратимся к графической программе Graph и проверим, правильно ли решен первый пункт задачи. Введем функцию f(x)= 7x – x²,на экране появляется её график.введем ограниченный диапазон [0;7] и рассчитаем площадь заданной функции, получим 57,1667 (Рис.15).

 

Рис.17Задача 2. Расчет объёма продукции за рабочий день

 

 

                  

 

б) Объём продукции за четвертый час работы (Рис. 18.):

 

)

 

 

Рис.18 Расчет объёма продукции за четвёртый час работы.

 

в) Объём продукции за последний час работы (Рис.19):

 

Рис.19Задача 2.  Расчет объёма продукции за четвёртый час работы.

Ответ:

объём продукции за весь рабочий день ,

объём продукции за четвертый час работы ,

объём продукции за последний час работы Полеченные результаты показывают, что работа утомительна и требует большого напряжения, поэтому к концу дня падает производительность труда.