Расчёты по гидростатике несжимаемой жидкости

В покоящейся жидкости отсутствуют касательные напряжения, а нормальное напряжение в данной точке не зависит от ориентации площадки. Для характеристики поверхностных сил используется скалярная величина р, называемая давлением. Нормальные напряжения в жидкости при обычных условиях могут быть только напряжениями сжатия, и давление считается положительным. Зависимость между поверхностными и массовыми силами при отсутствии движения жидкости описывается дифференциальным уравнением равновесия

                                                                   (1)

или в проекциях (уравнения Эйлера)

                           (2)

При использовании уравнении Эйлера принято располагать оси.г и у в горизонтальной плоскости, а ось z направлять вертикально вверх.

Равновесие жидкости возможно при условии существования потенциала напряжения массовых сил U:

                                                                     (3)

Интеграл дифференциального уравнения равновесия

                                                                    (4)

При действии на жидкость силы тяжести

и интеграл (2.4) превращается в

Р + ρgz = Ро.                                                                         (5)

где Pо – давление на горизонтальной плоскости z = 0.

Если начало координат расположить на свободной поверхности жидкости, отрицательную координату z заменить положительным вертикальным погружением точки h, а давление на свободной поверхности принять равным атмосферному Pа, то выражение (5) примет вид так называемого основного уравнения гидростатики

P=Pa + ρgh.                                                                 (6)

При решении практических вопросов определяющим оказывается избыточное, или пьезометрическое, давление

Pи = P-Ра = ρgh,                                                         (7)

где h – пьезометрическая высота.

Для характеристики давлений, меньших, чем атмосферное, используется положительная величина – давление вакуума:

Рв = Ра-Р.                                                                             (8)

Рисунок 1. Гидростатическая сила, действующая на плоскую фигуру

 

Чтобы определить результирующую силу гидростатического давления, приложенную к поверхности со стороны покоящейся жидкости, необходимо проинтегрировать давление по площади этой поверхности:

где п – орт внешней по отношению к жидкому объему нормали К поверхности.

Для плоской поверхности (рисунок 1) сила перпендикулярна плоскости и равна

R = ρghcS,                                                                       (10)

где S – площадь плоской фигуры; hс – глубина погружения ее центра тяжести.

Точка D приложения этой силы называется центром давления и лежит ниже центра тяжести С. Координаты центра давления вычисляют по формулам

                                                      (12,13)

где u=h/sin θ – наклонная координата (θ – угол между плоскостью фигуры S и горизонтальной поверхностью); Iс – собственный центральный момент инерции площади фигуры относительно горизонтальной оси Cx₁ Iхu – центробежный момент инерции площади фигуры S относительно осей х и u.

Если фигура S симметрична относительно оси Сu₁, то

Х_1D = X_D-X_C = 0.                                                         (13)

Центр тяжести и центр давления совпадают только у горизонтальной фигуры.

Результирующая сила гидростатического давления на криволинейную поверхность может быть вычислена как геометрическая сумма трех составляющих, действующих по любым трем взаимно перпендикулярным направлениям:

                                                          (14)

Рисунок 2. Схема гидростатических сил, действующих на криволинейную поверхность

 

причем каждая из составляющих находится по формуле

Ri = ρgVicosθi,                                                            (15)

где Vi – объем, ограниченный рассматриваемой криволинейной поверхностью, свободной поверхностью жидкости или ее продолжением и цилиндрической проектирующей поверхностью, образующие которой параллельны выбранному направлению; θi- – угол между выбранным направлением и вертикалью.

Для поверхностей с вертикальной плоскостью симметрии или для цилиндрических поверхностей с горизонтальными образующими (рисунок 2) составляющая, перпендикулярная плоскости симметрии или параллельная образующим, равна нулю. В этом случае результирующую силу давления можно разложить на горизонтальную и вертикальную составляющие:

S_B –площадь проекции рассматриваемой криволинейной поверхности на вертикальную плоскость, перпендикулярную плоскости симметрии или параллельную образующим поверхности S; h_cb – глубина погружения центра тяжести этой проекции; Vт.д. и Gт.д. – объем и вес тела давления.

Телом давления называется условное тело, имеющее плотность жидкости и ограниченное снизу заданной криволинейной поверхностью, сверху – свободной поверхностью жидкости или ее продолжением, а сбоку – вертикальной проектирующей поверхностью. На рисунке 2.

На погруженное в жидкость тело действует сила поддержания, или плавучести, равная весу вытесненной жидкости. Она направлена вертикально вверх и проходит через центр погруженного объема, который в теории корабля называется центром величины Cv.

Интеграл уравнения равновесия (4) может быть использован для решения задач при любых массовых силах.

Уравнения гидростатики применимы в случае относительного покоя между жидкостью и ее твердыми границами. Задачи об относительном покое решаются с помощью уравнения (4) в подвижных координатах, причем под U понимают потенциал всех массовых сил.

 

Задача 1.

Плоская поперечная переборка (рисунок 3) имеет ширину В=10 м, высоту Н=6 м и радиус скулы r=1 м. Определить расположение двух горизонтальных балок, при которых воспринимаемая ими нагрузка от одностороннего давления воды будет одинаковой. Закрепления по контуру переборки условно не учитывать.

Рисунок 3 – Равнонагруженные балки поперечной переборки

 

Задача 2.

Определить величину и направление (по отношению к горизонту) равнодействующей, приложенной со стороны жидкости к участку АВЕ бортовой секции судна на длине в одну шпацию dL = 1,2 м (рисунок 4). Вода морская, Т = 8,0 м, r = 2,0 м.

Рисунок 4 Бортовая поверхность судна