Графическое изображение синусоидальных переменных величин

Практика остановила свой выбор на синусоидальных изменениях переменных электрических величин. В дальнейшем, говоря о переменном токе, э.д.с., напряжении и магнитном потоке, мы будем считать их изменяющимися по закону синуса.

Пусть мы имеем радиус-вектор ОА (рис. 124) произвольной длины. Будем вращать с постоянной скоростью вектор вокруг точки О против часовой стрелки. Конец вектора будет описывать окружность, а угол α, на который поворачивается вектор, будет меняться с течением времени.

Рис. 124. Вращение вектора вокруг оси

Угловая скорость, или угловая частота ω (омега), вращения равна углу поворота вектора в единицу времени:

ω = ^α/_t.

Следовательно, угол поворота вектора

α = ωt.

Часто вместо градуса пользуются другой единицей измерения угла - радианом. Радианом называется угол, дуга которого равна радиусу. Так как длина окружности С = 2πR, то полному углу 360° соответствует ^2πR/_R = 2π радиан.

За один оборот радиус-вектор ОА будет иметь один период вращения продолжительностью Т сек.

Угловая частота в этом случае выразится так:

ω = ^α/_t = ^2π/_T^рад/_сек.

Так как ¹/_T = f, то ω = 2πf ^рад/_сек.

Угол поворота радиуса-вектора α от начального положения будет равен

α = ωt = 2πft.

Угол α называется фазным углом, или фазой.

Проекция вектора ОА на вертикальный диаметр равна произведению величины вектора на синус фазного угла, т. е.

OB = OA sin α.

Следовательно, проекция вращающегося вектора ОА на вертикальный диаметр изменяется по закону синуса. Если длина вектора будет А_m, то мгновенное значение проекции а равно

а = А_m sin α = А_m sin ωt;

при α = 0° величина а = А_m sin 0° = 0;

при α = 90° величина а = А_m sin 90° = А_m.

В последнем случае мгновенное значение проекции равно ее амплитудному или максимальному значению.

Задаваясь величиной фазного угла и проектируя вектор А_m на вертикальный диаметр, будем получать мгновенное значение синусоидальной величины.

Таким образом, синусоидальная величина изображается вращающимся вектором; длина вектора в масштабе выражает амплитуду синусоиды.

Проведем горизонтальную ось, на которой отложим фазные углы, проходимые вектором при его вращении (рис. 125). Откладываем затем вертикальные отрезки, равные соответствующим значениям проекции вращающегося вектора. Соединяя концы вертикальных отрезков плавной кривой, получим знакомую нам кривую - синусоиду.

Рис. 125. Получение синусоиды путем вращения вектора

Способ изображения синусоидально изменяющихся величин с помощью векторов определенной длины и определенным образом расположенных друг относительно друга называется векторной диаграммой.

Та же зависимость может быть выражена в виде синусоидальных кривых.

Таким образом, переменную синусоидальную величину можно представить тремя способами: уравнением, векторной диаграммой и графиком синусоиды.

Если радиус-вектор в начальный момент отсчета времени (t = 0) составляет некоторый угол ψ с горизонтальной осью, то в этом случае мгновенное значение переменной величины будет:

а = A_m sin (ωt + ψ).

Угол ψ (пси) называется начальным фазным углом, или начальной фазой.

Векторная диаграмма и график для этого случая даны на рис. 126.

Рис. 126. Построение синусоиды при наличии начальной фазы

Мы не внесем ничего нового, если будем вращать одновременно и с одинаковой скоростью ω два вектора, совпадающие по направлению. В определенный момент времени оба вектора будут повернуты на один и тот же фазный угол. Поэтому как сами векторы, так и переменные величины, которые они выражают, называют совпадающими по фазе. Векторная диаграмма и график двух величин, совпадающих по фазе, даны на рис. 127.

Рис. 127. Построение двух синусоид путем вращения двух совпадающих векторов

Уравнения для таких величин запишутся так:

a₁ = A_1m sin ωt;

а₂ = А_2m sin ωt.

Если векторы сдвинуть один относительно другого на определенный угол а и вращать их вокруг точки О, то мы получим две синусоидальные кривые, сдвинутые, как говорят, по фазе между собой на тот же угол α. На рис. 128 показано построение двух синусоид, сдвинутых по фазе на угол а, равный 90°. В этом случае о кривой а₁ говорят, что она опережает кривую а₂ по фазе на 90°, или, наоборот, кривая а₂ отстает по фазе от кривой а₁ на 90°.

Рис. 128. Построение двух синусоид, сдвинутых на 90°, путем вращения двух векторов, расположенных под углом 90°