Метод Гаусса исключения неизвестных

       Две системы линейных алгебраических уравнений называются эквивалентными, если каждое решение первой системыявляется решением второй, и наоборот.

    Элементарными преобразованиями системы линейных уравнений называются следующие преобразования:

- перестановка двух уравнений;

-умножение обеих частей одного из уравнений на любое отличное от нуля число;

-прибавление к обеим частям одного уравнения соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

Элементарные преобразования переводят данную систему уравнений в эквивалентную ей систему.

    Используя понятие элементарных преобразований, метод Гаусса позволяет свести систему n уравнений с n неизвестными к ступенчатой эквивалентной треугольной системе, когда первое уравнение содержит все n неизвестных, второе уравнение содержит (n -1) неизвестную, третье – (n -2) неизвестных, и т.д., последнее уравнение содержит одну неизвестную.

Удобнее приводить к ступенчатому виду не саму систему уравнений, а расширенную матрицу из коэффициентов при неизвестных и свободных членов. Рассмотрим метод Гаусса на примере ранее решенной двумя методами системы.

        

П р и м е р. Решить методом Гаусса систему:

Р е ш е н и е.

       Запишем расширенную матрицу (матрицу коэффициентов и свободных членов), соответствующую решаемой системе, и последовательно преобразуем ее

 

 

.

Вторая матрица получена из первой расширенной матрицы системы путем деления каждого уравнения на их коэффициенты при неизвестной  (члены первого уравнения делились на 1, второго – на 2, третьего – на -1). Третья матрица получена из второй путем вычитания из элементов второго и третьего уравнений соответствующих элементов первого уравнения. Четвертая матрица получена из третьей матрицы путем деления элементов второй строки (второго уравнения) на 2.5 и деления элементов третьей строки на 1. Пятая матрица получена из четвертой путем вычитания из элементов третьей строки соответствующих элементов второй строки. Пятой матрице соответствует следующая ступенчатая треугольная система

из которой, без затруднения, получаем решение

Векторы и действия с ними

      Основные определения

    Величина, полностью определяемая своим численным значением, называется скалярной величиной или скаляром.

    Величина, определяемая кроме численного значения еще и направлением действия, называется векторной величиной. Схематически вектор – направленный отрезок определенной длины.                                                                       

                                                                 В

  

 

                                                     

      

                                           A

Когда вектор хотят задать точками начала и конца вектора, то вектор обозначают  (направление от точки А к точке В), когда достаточно указать, что имеют дело с векторной величиной, то пишут . Длина (модуль) соответствующего вектора обозначается   или .

Векторы называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Так если два вектора   и   коллинеарные, то пишут  

Два вектора и   называются равными, если они коллинеарные, равны по длине и одинаково направлены. В этом случае пишут . Если же векторы коллинеарные, равны по длине и направлены в противоположные стороны, то такие векторы называются противоположными, что записывается .

    Векторы называются компланарными, если они параллельны одной плоскости.

    В векторной алгебре вводится понятие нулевого вектора – вектора нулевой длины, произвольного направления.