Замена переменной в ТИ (геометрический вывод для общего случая); переход в ТИ к цилиндрическим и сферическим координатам.

Замена переменной в ТИ (геометрический вывод для общего случая); переход в ТИ к цилиндрическим и сферическим координатам.

а) переход к цилиндрическим координатам

 M(x,y,z)=M(ρcos(φ), ρsin(φ),z)                                (2)

(x,y,z)↔(ρ, φ,z)

x= ρcos(φ)

 (1)  (1’)

  (2)

 

 

 

 

это знак якобиана если что;)

dV=dxdydz= dρdφdz    (3)

           (4)

б) Переход к сферическим координатам  

ψ-отсчитывается от Oz по часовой стрелке

r-радиус-вектор точки M

Пусть -новые координаты, тогда:

 

(5)                    (5’)

                                                                                                          

 

dxdydz=

6.криволинейные интегралы: 1)пусть переменная t  с помощью отображений x=x(t),y=y(t),z=z(t) отображает [  R’ в Г (1);2) тогда x(t),y(t),z(t) – координаты вектор-функции (2) и определяет некоторую кривую в пространстве,т.е. x=x(t), y=y(t),z=z(t),t параметр.уравнение кривой в пространстве.Если t –время,то (3)-уравнение траектории движения.3)если  предшествует точке M(, т.е. M[x( y(,z( ] предшествует M[x( y(,z( ]. Г: t) .если .если M( t  x(0)=x(2 ),y(0)=y(2 )=0.

Криволинейные интегралы 2 рода

Определение: Конечный предел интегральной суммы I_n при λ→∞,не зависящий от точек M_i,называется криволинейным интегралом

второго рода от функций P,Q,R по пути L:

 I_n=

Определение (еще одно хз какое лучше): Если вдоль кривой L определены функции P(M) = P(x, y, z),

 

Q(M) = Q(x, y, z), R(M) = R(x, y, z) и существуют интегралы: , , ,то и их сумму называют криволинейным интегралом второго рода (общего вида) и полагают: = + + (1)

Свойства КИ-2:

1) Если функции P(M), Q(M), R(M) непрерывны на кривой (АВ), то интеграл (1) существует

2) При изменении направления кривой (то есть перемены местами начальной и конечной ее точек) криволинейный интеграл 2-го рода меняет знак: = -

Про работу: Работа при перемещении тела в силовом поле  вдоль кривой C выражается через криволинейный интеграл второго рода:

A= , где  − сила, действующая на тело,  − единичный касательный вектор (рисунок 1). Обозначение *  означает скалярное произведение векторов  и .

Механически КИ-2 представляет собой работу переменной силы , точка приложения которой описывает кривую L

Вычисление КИ-2: Если линия AB задана в параметрической форме:x=x(t), y=y(t), z=z(t), t₁≤t≤t₂, где x(t), y(t), z(t) – непрерывно дифференцируемые функции, и при изменении параметра t от t₁ к t₂ кривая описывается именно от точки A к точке B, то

=

Причем КИ-2 существует, если существует определенный интеграл

 

Решение уравнения с разделяющимися переменными

Понятие однородной функции n -ого измерения однородные ДУ-1, их решение

Линейные ДУ-1: определение, отыскание общего решения методом Бернулли.

Линейные ДУ высшего порядка(ДУ- n): однородные, неоднородные. Однородные ДУ- n: доказать теоремы о свойствах решений, понятие фундаментальной системы ЛОДУ- n. Доказать теорему о структуре общего решения ЛОДУ- n.

(1)

Если при всех рассматриваемых значениях x ф-я то уравнение (1) наз-ся линейным однородным, в противном сл-е он наз-ся лин-но неоднородным.

Введем оператор:  (2)

С помощью оператора (2) ур-е (1) примет вид:

ЛОДУ-(n) Свойства решений

Т₁  Если - решения, то - тоже решения

Д-во:

     Тогда:

Т₂ Если - решение, то -тоже решение, где

Д-во: , тогда

    

Понятие ФС ЛОДУ-(n)

Т  опред. на  были лин-но незав-мы, необходимо и достаточно чтобы Вронскиан  хотя бы в одной точке на

Т Если Вронскиан  в точке , то он не равен о ни в одной точке

О n - лин-но незав-х решений ЛОДУ-(n) наз-ся фундаментальной системой решений (ФСР)

Т о структуре общего решения ОЛДУ-(n)

Если  – ФСР ОЛДУ-(n)

, то общ. Решение ОЛДУ-(n) имеет вид:

 , (2)

Д-во: имеем

А) Тогда

Б) Покажем, что задача Коши имеет единственное решение:

 (3)

(2) в (3): (4)

(4) – система лин-х неодн-х алгебр-х ур-й. Она имеет единственное решение, если опред-ль системы не равен 0.

Значит (4) – единственное решение

Подставляя найденное значение в (2) получаем решение задачи коши. Теор. Доказана

Вопрос.

П-ОЛДУ с постоянными коэффициентами

L(y)=yⁿ+a₁y^n-1+…+a_n-1y’+a_ny=0 (11)

a₁,a_2,…,a_n-const

Метод Эйлера: ищем решение в виде y=e^λx λ-const (12)

y’=λe^λx,y”=λ²e^λx…yⁿ=λⁿe^λx (13)

(12) и (13) в (11)

L(e^λx)= λⁿe^λx+a₁ λ^n-1e^λx+…+a_n e^λx

L(e^λx)= (λⁿ+a₁ λ^n-1+a₂ λ^n-2+…+a_n) e^λx

L(e^λx)=P(λ) e^λx≡0 (14)

e^λx≠0 xϵ(-∞;∞)

Из (14) следует P(λ)≡λⁿ+a₁ λ^n-1+…a_n=0 (15)

Характеристическое уравнение(ху)

Задача. Интегрирование диф. уравнения свелось в

Случаи:

1. ХУ(15) имеет n различных вещественных корней

n решений λ₁, λ₂,.., λ_n y₁= e^λ1x,y₂= e^λ2x,…,y_n= e^λx(16)

 

W(e^λ1X,…, e^λnX)= e^λ1X e^λ2X … e^λnX

                                         λ₁ e^λ1X x₂ e^λ2X… λ_n e^λnX

                         ………………………

                         λ₁^n-1 e^λ1X … λ_n^n-1 e^λnX

 

= e^λ1X* e^λ2X*… e^λnX * I I …. I

                               λ₁    λ₂  …. λn ≠0 xϵ(-∞;∞)

                               λ₁^n-1 λ₂^n-1… λ_n^n-1  

определитель Вандер Монда т.е (16)-ФСР

Тогда y_оо=с₁y₁+ с₂y₂+…+ с_ny_n= c₁e^λ1X + c₂ e^λ2X+…+ c_n e^λnX (17)

2. Среди корней XУ имеется комплексный корень λ₁=α+iβ

Тогда имеется обязательно сопряжённый корень λ₂=α+iβ

y₁₌ e^α+iβ)x=e^αx(cosβx+isinβx)= e^αxcosβx+ ie^αxsinβx=u(x)+iv(x)=y₁(c волнистой чертой) y₂(c волн.ч)= e^α-iβ=e^αxcosβx-ie^αxsinβx= u(x)+iv(x)

Теорема о комплексном решении ДУ

Пусть y=u+iv – комплексное решение ДУ. Тогда L(y)≡0 следовательно L(u)+iL(v)=0 следовательно

т.е u(x) и v(x)-действительное решение ДУ.

Вывод: двум комплексным сопряжённым корням λ_1,2=α+iβ характеристического уравнения P(λ)=0 соответствует вещественное решение y₁= e^αxcosβx,y₂= e^αxsinβx

3. Среди корней ХУ корень λ₁ кратности “к”

XУ P(λ)=(λ-λ₁)^kQ_n-k(λ)=0 (18)

P’(λ)=k(λ- λ₁)^k-1 Q(λ)+ (λ- λ₁)^kQ’(λ)

P’’(λ)= k(k-1)(λ-λ₁)^k-2Q(λ)+2k(λ-λ₁)^k-1Q’(λ)+ (λ-λ₁)^kQ’’(λ)

……………………………………………………………..    (19)

P^{(k) (}λ)=k(k-1)…2*1Q(λ)+…+ (λ-λ₁)^kQ^k(λ)

Если λ₁-корень ХУ(18), то (Q(λ₁)≠0)

P(λ₁)≡0 P’(λ₁)=0,P’’(λ₁)=0…,P^k-1(λ₁),но P^k(λ₁)=k’Q(λ₁)≠0

Ранее имеем L(e^λx)=P(λ) e^λx=0 (20)

Продифференцируем соотношение (20) по λ:

(L(e^λx))’_λ=(P(λ) e^λx)’_λ   ;(e^λx)’=P’(λ) e^λx+P(λ)x e^λx

L(x e^λx)=P’(λ) e^λx+P(λ)x e^λx

Ещё раз дифференцируем по λ k-2 раз

L(x² e^λx)=P’’(λ) e^λx+2P’(λ)x e^λx+P(λ) e^λxx²      (21)

Если в соотношении (21) подставим λ₁-корень ХУ,то будем иметь

L(x e^λx)=P’(λ₁) e^λ1x+P(λ₁)x e^λ1x=см 19=0 L(x e^λ1x)≡0 следовательно x e^λ1x тоже решение ОЛДУ-n. L(x² e^λ1x)=см 19=0+0+0=0 следовательно x² e^λ1x-тоже решение ОЛДУ-n. L(x^k-1 e^λ1x)=0+0+…+0=0 следовательно x^k-1 e^λ1x тоже решение ОЛДУ-n. Вывод: Если λ₁-как кратный корень ХУ, то ему соответствует,,к,, решений:

 y₁= e^λ1x,y₂=x e^λ1x,y₃=x² e^λ1x,…,y_k=x^k-1 e^λ1x –входят в ФСР как лин. независимые

4. Среди корней ХУ имеются почленно сопряжённые как кратные корни λ_1,2=α+iβк р “ к” Всего 2к корней. Следует 2 кратным корнем имеет два вещественные решения y₁= e^αxcosβx,y₂= e^αxsinβx

В силу кратности y₃=x e^αxcosβx,…,y_2k-1=x^k-1 e^αxcosβx

                           y₄=x e^αxsinβx,…, y_2k=x^k-1 e^αxsinβx

Доказательство

(Sn) A=  

(Sn) B=            

(Sn)A (Sn)B ,     S_{A B}             (2)

Из(2)  Если  – сходится, то _B -конечная => S_A -конечная < _B => - сходится

Из(2)  Если - – расходится, то S_A -бесконечная => _B -бесконечная > S_A => - расходится

Признак Даламбера

Если в ряде (a_n )  =L

L<1-сходится

L>1 расходится

L=1 -??

Доказательство

a) L<1;  =L

L<q<1

=q-L>0

< < = q-L

<q

Начиная с

a_N+1<q*a_N

a_N+2<q*a_N+1<q²a_n

a₁+a₂+a₃+…a_N+a_N+1+a_N+2+… (4)

a_N + q*a_N+q²a_N+q³a_N+… (5)

начиная с номера  члены ряда (1)<(2)

а ряд (2)-геометрическая прогрессия со знаменателем q>1

= - кон.число по теореме сравнения в форме неравенства

 L>1;  =L члены с каждого номера члены ряда возрастают a_n+1>a_n, т.е. не выполняется НУС

а значит ряд расходится

в) L=1-???

Коши-Радикальный

Если в (a_n ), =L, то

L<1-ряд сходится

L>1-ряд расходится

L=1-??

Доказательство

=L

=> | <

L <1

=q-L

-L< =q-L

< q_n начиная с некоторого номера

_n <qⁿ

_N <q^N

_N+1 <q^N+1

 2 ряда

a₁+a₂+a₃+…a_N+a_N+1+a_N+2+… (6)

q^N+q^N+1+q^N+2+… (7)

начиная с N члены (6)<(7) ряд (7) геом прогрессия  q<1; =  - конечное число, тогда по признаку сравнения (6) сходится

Б) L>1 a_N+1>a_N; a_N>1 т.е не выполняется НУС

В) L=1-??

Признак Коши-Интегральный

Рассмотрим ряд (a_n )

a_(n) непрерывная функция на [n₀; ]

Если , - конечное число, то –сходится

Если =0, или , то  – расходится

=A_(n) =

Вопрос 20. Если для последовательности {Sn,n≥1} частичных сумм существует конечны предел S, то ряд называется сходящимся, а число S-суммой данного ряда. Ряд называется расходящимся, если lim Sn (при n→0) не существует или бесконечен.

НУС Для того что бы ΣAn сходился, необходимо, что бы lim An(при n→0)=0

Если ряд сходится то остаток ряда тоже сходиться. Отбрасывание первых членов ряда не влияют на сходимость. Если ряд сходиться то остаток стремиться к нулю.

Т Знакоположительный ряд всегда имеет сумму: А) Если сумма ряда конечна, то ряд сходиться. Б) Если сумма бесконечна, то ряд разходится.

Абсолютная и условная сходимость Ряд ΣA (от 1 до ∞) называется абсолютно сходящимся, если ряд Σ‖A‖ также сходится.
Если ряд ΣAn (от 1 до ∞) сходится абсолютно, то он является сходящимся (в обычном смысле). Обратное утверждение неверно.
Ряд ΣА (от 1 до ∞) называется условно сходящимся, если сам он сходится, а ряд, составленный из модулей его членов, расходится.

Функциональные ряды.

О) ФР: (1) x Î<a,b> (1)

O) Если в (1) x=x₀, то (2) – числовой ряд

О) Если  – (2) сходится, то говорят, что ФР (1) сходится в (.) x₀

О) Если  – (2) " x₀ Î <a,b>, то говорят, что ФР (1) сходится на <a,b>

О) Если  - (2) расходится, то ФР (1) расходится в (.) x₀

О)  - (2) сходится в (.) x₀, если

                                                    Частичная сумма ­         ­ сумма числового ряда

т.е. " e>0 $ N(e,x₀): "(n>N) Þ ½S_n(x₀)-S(x₀)½<e

!!! N(e,x₀) зависит и от e и от x₀

Равномерная сходимость.

О) ФР (1) сходится равномерно на <a,b>, если " e>0 $ N(e): "(n>N) Þ ½S_n(x)-S(x)½<e " “x” Î <a,b> одновременно, где S_n(x)=  – частичная сумма, S(x) – сумма ряда

S(x)=S_n(x)+R_n(x)

R_n(x)=U_n+1(x)+U_n+2(x)+… - остаток ряда

Вопрос

PU y(x)= y(0)ⁿ/n!*xⁿ xϵ<-R,R> (1)

PT y(x)=  y(0)ⁿ/n!*(x-x₀) xϵ<-R,R> (2)

1. Вычисление значений функций y(x) x=x₁. Раскладываем функцию в ряд Тейлора и Маклорена и вычисляем значение функции

2. Вычисление интегралов. fⁿ(x₀)/n!(x-x₀)ⁿ= fⁿ(x₀)/n! (x-x₀)ⁿdx=  fⁿ(x₀)/n! (x-x₀)ⁿdx=

 f(x₀)(x-x₀)ⁿ⁺¹/n!(n+1)  [a,b] <-R,R>

3. ДУ. a) Линейные ДУ. y’’+p(x)y’+g(x)y=0 Пусть p(x)=

q(x)= ; y(x)= (3) Подставим (3) в и находим коэффициенты С_n и находим из обращения в нуль коэффициентов при любой степени х в полученном выражении

б) Если p(x)= ; q(x)=  Пусть a₀,b₀,b₁ не равны, о оновр тогда решение уравнения (1) можно искать в виде обобщённого степенного ряда y(x)=x^s ; ρ(ρ-1)+a₀ρ+b₀=0 (6)

a₀= ,b₀=

a) Если ρ₁-ρ₂- не целое. y₁(x)=x^ρ1 ; y₂(x)=x^ρ2

y₀₀=c₁y₁(x)+c2xy2(x) (!!!)

б) Если ρ₁-ρ₂- целое

2.1 Ряд Фурье. Пространство функции L ₂  [- ]. Определение, св-ва.

Рассмотрим множество f(x): =  непрерывные на [- ]

Кусочные непрерывные [- ], имеющие кон число точек разрыва 1го рода

 

Свойства функции:

1) Если f(x) L₂, то С*f(x) L₂

Доказательство: =С²* <

2) Если f₁(x);f₂(x) L₂   то f₁(x)+f₂(x) L₂   

Д-во: ( f₁(x)+f₂(x))² 0

f₁² f₁f₂+f₂² => f₁²+f₂²> f₁f₂

= <  <2

Благодаря этим свойствам образуется линейное векторное пространство, которым можно показать, что L₂ не имеет конечного базиса. Базис содержит бесконечное множество векторов

Можно ввести скалярное произведение:

{f(x),g(x)} =

1) (g(x), f(x)) =

(f(x),g(x)) =(g(x),f(x))

2) {f₁(x)+f₂(x)_,g(x)} = =

( + )* = * + *

3) { f(x), f(x)} =   0

4) (|f(x)|) =

5) {|f(x)-g(x)|}=

2(Ряды Фурье). Показать ортогональность функций 1, cosx, sinx, cos2x, sin2x,…,cosnx, sinnx,… на [- π, π ].

{1, sinx, cosx, sin 2x, cos 2x,..., sin nx, cos nx,...}

1. Поэтому

2.

3.

4.

 

Если n=m, то

5.

при n ≠ m, n, m = 1, 2, 3,... Если n = m, то

Значит,

6.

при n ≠ m, n, m = 1, 2, 3,... Если n = m, то

То есть

Таким образом, доказано, что система на отрезке [ - π, + π] ортогональная.

 

 

                 

Вопрос 3 фурье

 

5)Ряд Фурье для периодических функций с периодом T=2l

Пусть f(x) есть период. ф-я с T=2l,отличным от 2π. Разложим ее в ряд Фурье. Замена переменной: /

Тогда ф-я  будет переод-й ф-й от t c T=2π. Ее можно разложить на

,где ,

Возвратимся к старой переменной:

Имеем:

Ряд Фурье будет иметь вид:

 

Замена переменной в ТИ (геометрический вывод для общего случая); переход в ТИ к цилиндрическим и сферическим координатам.

а) переход к цилиндрическим координатам

 M(x,y,z)=M(ρcos(φ), ρsin(φ),z)                                (2)

(x,y,z)↔(ρ, φ,z)

x= ρcos(φ)

 (1)  (1’)

  (2)

 

 

 

 

это знак якобиана если что;)

dV=dxdydz= dρdφdz    (3)

           (4)

б) Переход к сферическим координатам  

ψ-отсчитывается от Oz по часовой стрелке

r-радиус-вектор точки M

Пусть -новые координаты, тогда:

 

(5)                    (5’)

                                                                                                          

 

dxdydz=

6.криволинейные интегралы: 1)пусть переменная t  с помощью отображений x=x(t),y=y(t),z=z(t) отображает [  R’ в Г (1);2) тогда x(t),y(t),z(t) – координаты вектор-функции (2) и определяет некоторую кривую в пространстве,т.е. x=x(t), y=y(t),z=z(t),t параметр.уравнение кривой в пространстве.Если t –время,то (3)-уравнение траектории движения.3)если  предшествует точке M(, т.е. M[x( y(,z( ] предшествует M[x( y(,z( ]. Г: t) .если .если M( t  x(0)=x(2 ),y(0)=y(2 )=0.