Идентификация объекта управления

Пример

 

 

Рассмотрим пример использования метода наименьших квадратов. Пусть выходной сигнал (функция отклика) зависит от одного фактора (входного сигнала). Активно проведено n экспериментов. Задана  и получена  - результатов экспериментов. Общий вид уравнения регрессии 1-го порядка для примера:

x_вых = b₀ + b₁x₁

 

Методом наименьших квадратов ищем минимум функции Ф:

 

 

Для получения минимума этой Ф приравниваем к нулю частные производные

 

.

 

Для удобства получения частных производных введем фиктивную переменную x₀=1 и функцию Ф запишем:

 

 

x₀=1 можно убрать. Тогда

 

 

Решая эту систему алгебраических уравнений (можно методом Крамера), находим:

 

 

Проверка идентичности математической модели - уравнения регрессии исследуемого объекта проводится по нескольким критериям адекватности и идентичности модели.

Поскольку результаты опытов в эксперименте заранее точно предсказать невозможно, то обработка и сами результаты связаны с неопределенностью или вероятностью. Вероятность изменяется в пределах: 0 - события быть не может, 1 - событие произойдет обязательно (день-ночь). При большом числе параллельных (одинаковые условия) опытов вероятность может быть задана в виде функции распределения вероятностей (рис. 4.):

 

Рис. 4. Схема нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей

 

На практике чаще всего используется так называемое нормальное (гауссовское) распределение вероятностей.

Случайная величина () имеет несколько числовых характеристик, наиболее важные из которых - это математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание - это среднее взвешенное значение случайной величины

 

 

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

 

.

 

Проверка значимости уравнения регрессии проводится по критерию Фишера или F-критерию. Проверка заключается в определении, значимо ли (больше ошибки измерения) полученное уравнение  отличается от уравнения . Для этого вычисляют дисперсию относительно среднего значения выходного сигнала:

 

,

 

где f₁ - число степеней свободы,

 

.

 

А также остаточную дисперсию:

,

 

f₂ - число степеней свободы.

Величину критерия Фишера (F-критерий) определяют по формуле:

 

 (должно быть).

 

Значимость коэффициентов b_i уравнения регрессии определяют по t-критерию (критерии Стьюдента):

 

,

.

 

Классификация отказов

 

а) по степени влияния: полные, частичные;

б) по характеру проявления: окончательные, перемежающиеся;

в) по степени связи: зависимые, независимые;

г) по частоте проявления: однократные, многократные;

д) по характеру возникновения: внезапные, постепенные;

е) по математическим моделям: параметрические, сигнальные;

ж) по видам проявления: обрывы, короткие замыкания, дрейф, переориентация, изменение эффективности.

Задачи диагностирования по следующей схеме (рис. 9.):

 

Рис. 9. Схема диагностирования по отказам

 

Для диагностики моделей используется (см. классификацию) множество физических видов отказов - диагностических признаков.

В качестве прямых диагностических признаков соответствующего отказа используют Dl_i = l_i - l_iном - отклонение диагностического параметра l_i от номинального значения. Косвенные диагностические признаки оценивают через отклонение величины x_вых - выходного сигнала объекта (системы).

Разработка диагностического обеспечения системы управления или объекта идет по следующей схеме (рис. 10.):

 

Рис. 10. Схема разработки диагностического обеспечения системы управления или объекта

 

Список литературы

 

1. Льюнг Леннарт. Идентификация систем. - М.: Наука, 191.

2.    Интеллектуальные системы автоматического управления. / Под ред. И.М. Макарова, В.М. Лохина - М.: Физматпит, 2001.

3.    В.О. Толкачев, Т.В. Ягодкина. Методы идентификации одномерных линейных динамических систем. - М.: МЭИ, 197.

4.    К.А. Алексеев. Моделирование и идентификация элементов и систем автоматического управления. - Пенза, 2002.

5.    Дочф Ричард, Вишоп Роберт. Современные системы управления. - М.: Юнимедиастайп, 2002.

6.    С.В. Шелобанов. Моделирование и идентификация систем управления. - Хабаровск, 199.

7.    К.В. Егоров. Основы теории автоматического регулирования. - М.: Энергия, 167.

Идентификация объекта управления

 

В современных сложных объектах, как правило, выходной сигнал объекта зависит не от одного входного сигнала, как в случае с кривой разгона, а от нескольких входных сигналов, т.е. объект управления имеет сложное переплетение взаимосвязей входных и выходных сигналов.

 

Рис. 1. Схема объекта, состоящего из нескольких взаимосвязанных входных-выходных сигналов

 

Для идентификации таких сложных объектов используется метод регрессионного анализа с проведением активного эксперимента на базе теории математического планирования эксперимента.

Назначение этой теории - значительно сократить количество экспериментальных опытов и упростить расчеты, необходимые для получения уравнения взаимосвязи выходного сигнала с несколькими входными сигналами - уравнения регрессии.

Сокращение числа необходимых экспериментов в теории математического планирования эксперимента достигается за счет одновременного изменения всех входных сигналов (факторов), а упрощение расчетов получается за счет того, что изменение входных сигналов (факторов) нормируется, т.е. величины . Пусть  - зависит от 2-х входных факторов.

 

Рис. 2. Схема исследования объекта методом регрессионного анализа для двух входных сигналов (факторов)

 

Точка О - номинальный режим работы объекта. Нормализация происходит за счет того, что начало координат переносится в точку О на .

 

Рис. 3. Схема центрального плана полного факторного эксперимента для двух входных сигналов (факторов)

 

Здесь (рис. 3) изображен план проведения опытов для изучения зависимости . Число опытов равно 4=2² - полный факторный эксперимент; Для k входных факторов число опытов в факторном эксперименте: N=2^k. При k=3 N=8; k=4, N=16 и т.д.

На приведенном выше рис. 3. изображен центральный (точка О - в центре) ортогональный полный факторный план эксперимента для 2-х входных факторов.

 

Таблица 1. Полный факторный эксперимент для k=2.

№ опыта
1	+1	+1
2	-1	+1
3	-1	-1
4	+1	-1

 

Свойство плана, когда, называется ортогональностью плана.

 

Таблица 2. Полный факторный эксперимент для k=3.

№ опыта
1	+1	+1	+1
2	-1	+1	+1
3	-1	-1	+1
4	+1	-1	+1
5	+1	+1	-1
6	-1	+1	-1
7	-1	-1	-1
8	+1	-1	-1

 

В полном факторном плане экспериментов число опытов резко возрастает в зависимости от числа входных факторов: k=4 N=16; k=5, N=32; k=6, N=64 опыта. Поэтому для сокращения числа опытов с минимальной потерей информации применяются сокращенные планы - дробные реплики. Если планы содержат половину опытов полного факторного эксперимента, то такой план носит название полуреплики.

Таблица 3. Пример полуреплики для k=4 (ПФЭ=16)

№ опыта
1	+1	+1	+1	+1
2	+1	-1	+1	-1
3	-1	+1	+1	-1
4	-1	-1	+1	+1
5	+1	+1	-1	-1
6	+1	-1	-1	+1
7	-1	+1	-1	+1
8	-1	-1	-1	-1

 

Используют также ¼ реплики от полного факторного эксперимента.

Уравнение взаимосвязи входного и выходного сигналов - уравнение регрессии - записывается в виде алгебраического полинома 1-ой и 2-ой степени в следующем виде:

1-ой степени:

 

x_вых = b₀ +b₁x₁+b₂x₂;

 

с учетом взаимодействия входных факторов для 2-х входных факторов x₁ и x₂:

 

x_вых = b₀ + b₁x₁ + b₂x₂ + b₁₂x₁ x₂.

 

Полином второй степени - уравнение регрессии:

 

 

Естественно, это уравнение более точно описывает взаимосвязь x_вых - функции отклика - с входными факторами (сигналами) объекта.

Задача идентификации объекта управления (ОУ) методом регрессивного анализа сводится к выбору порядка математической модели - уравнения регрессии - и определению коэффициентов b_0, b₁, b₂, b₁₂ и т.д. в этом уравнении регрессии. При определении этих коэффициентов используется метод наименьших квадратов, в котором определяется наименьшая сумма отклонений в квадрате (2-ой степени) между реально полученным в эксперименте выходным сигналом и выходным сигналом, рассчитанным (предсказанным) по уравнению регрессии, т.е. ищут минимум функции:

 

 

Минимум функции Ф достигается в том случае, когда первая частная производная (тангенс угла наклона к впадине) равна нулю, т.е.

 

.

 

Пример

 

 

Рассмотрим пример использования метода наименьших квадратов. Пусть выходной сигнал (функция отклика) зависит от одного фактора (входного сигнала). Активно проведено n экспериментов. Задана  и получена  - результатов экспериментов. Общий вид уравнения регрессии 1-го порядка для примера:

x_вых = b₀ + b₁x₁

 

Методом наименьших квадратов ищем минимум функции Ф:

 

 

Для получения минимума этой Ф приравниваем к нулю частные производные

 

.

 

Для удобства получения частных производных введем фиктивную переменную x₀=1 и функцию Ф запишем:

 

 

x₀=1 можно убрать. Тогда

 

 

Решая эту систему алгебраических уравнений (можно методом Крамера), находим:

 

 

Проверка идентичности математической модели - уравнения регрессии исследуемого объекта проводится по нескольким критериям адекватности и идентичности модели.

Поскольку результаты опытов в эксперименте заранее точно предсказать невозможно, то обработка и сами результаты связаны с неопределенностью или вероятностью. Вероятность изменяется в пределах: 0 - события быть не может, 1 - событие произойдет обязательно (день-ночь). При большом числе параллельных (одинаковые условия) опытов вероятность может быть задана в виде функции распределения вероятностей (рис. 4.):

 

Рис. 4. Схема нормального (гауссовского) закона распределения вероятностей

 

На практике чаще всего используется так называемое нормальное (гауссовское) распределение вероятностей.

Случайная величина () имеет несколько числовых характеристик, наиболее важные из которых - это математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание - это среднее взвешенное значение случайной величины

 

 

Дисперсия характеризует разброс значений случайной величины относительно ее математического ожидания.

 

.

 

Проверка значимости уравнения регрессии проводится по критерию Фишера или F-критерию. Проверка заключается в определении, значимо ли (больше ошибки измерения) полученное уравнение  отличается от уравнения . Для этого вычисляют дисперсию относительно среднего значения выходного сигнала:

 

,

 

где f₁ - число степеней свободы,

 

.

 

А также остаточную дисперсию:

,

 

f₂ - число степеней свободы.

Величину критерия Фишера (F-критерий) определяют по формуле:

 

 (должно быть).

 

Значимость коэффициентов b_i уравнения регрессии определяют по t-критерию (критерии Стьюдента):

 

,

.